Theorem ordpipq 3850

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers.

Hypotheses

Ref	Expression
ordpipq.1	⊢ A ∈ V
ordpipq.2	⊢ B ∈ V
ordpipq.3	⊢ C ∈ V
ordpipq.4	⊢ D ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ordpipq	⊢ ([⟨A, B⟩] ~Q <Q [⟨C, D⟩] ~Q ↔ (A ·N D) <N (B ·N C))

Proof of Theorem ordpipq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 3842	. 2 ⊢ ~Q ∈ V
2		ordpipq.2	. 2 ⊢ B ∈ V
3		ordpipq.3	. 2 ⊢ C ∈ V
4		ordpipq.4	. 2 ⊢ D ∈ V
5		enqer 3840	. 2 ⊢ Er ~Q
6		dmenq 3839	. 2 ⊢ dom ~Q = (N × N)
7		df-nq 3832	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8		ltrelpq 3845	. 2 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
9		ltrelpi 3811	. 2 ⊢ <N ⊆ (N × N)
10		0npi 3804	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
11		dmmulpi 3813	. 2 ⊢ dom ·N = (N × N)
12		df-ltq 3836	. . 3 ⊢ <Q = {⟨x, y⟩∣((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) ∧ ∃z∃w∃v∃u((x = [⟨z, w⟩] ~Q ∧ y = [⟨v, u⟩] ~Q ) ∧ (z ·N u) <N (w ·N v)))}
13		enqeceq 3841	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨A, B⟩] ~Q ↔ (z ·N B) = (w ·N A)))
14		enqeceq 3841	. . . . . . 7 ⊢ (((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q = [⟨C, D⟩] ~Q ↔ (v ·N D) = (u ·N C)))
15		cleqcom 1103	. . . . . . 7 ⊢ ((v ·N D) = (u ·N C) ↔ (u ·N C) = (v ·N D))
16	14, 15	syl6bb 414	. . . . . 6 ⊢ (((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q = [⟨C, D⟩] ~Q ↔ (u ·N C) = (v ·N D)))
17	13, 16	bi2anan9 478	. . . . 5 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N))) → (([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨A, B⟩] ~Q ∧ [⟨v, u⟩] ~Q = [⟨C, D⟩] ~Q ) ↔ ((z ·N B) = (w ·N A) ∧ (u ·N C) = (v ·N D))))
18		opreq12 3008	. . . . . 6 ⊢ (((z ·N B) = (w ·N A) ∧ (u ·N C) = (v ·N D)) → ((z ·N B) ·N (u ·N C)) = ((w ·N A) ·N (v ·N D)))
19		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ z ∈ V
20		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ u ∈ V
21		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ x ∈ V
22		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ y ∈ V
23	21, 22	mulcompi 3818	. . . . . . 7 ⊢ (x ·N y) = (y ·N x)
24		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ f ∈ V
25	22, 24	mulasspi 3819	. . . . . . 7 ⊢ ((x ·N y) ·N f) = (x ·N (y ·N f))
26	19, 20, 2, 23, 25, 3	caopr4 3078	. . . . . 6 ⊢ ((z ·N u) ·N (B ·N C)) = ((z ·N B) ·N (u ·N C))
27		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ w ∈ V
28		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ v ∈ V
29		ordpipq.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ V
30	27, 28, 29, 23, 25, 4	caopr4 3078	. . . . . 6 ⊢ ((w ·N v) ·N (A ·N D)) = ((w ·N A) ·N (v ·N D))
31	18, 26, 30	3eqtr4g 1147	. . . . 5 ⊢ (((z ·N B) = (w ·N A) ∧ (u ·N C) = (v ·N D)) → ((z ·N u) ·N (B ·N C)) = ((w ·N v) ·N (A ·N D)))
32	17, 31	syl6bi 187	. . . 4 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N))) → (([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨A, B⟩] ~Q ∧ [⟨v, u⟩] ~Q = [⟨C, D⟩] ~Q ) → ((z ·N u) ·N (B ·N C)) = ((w ·N v) ·N (A ·N D))))
33		mulclpi 3815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ N ∧ C ∈ N) → (B ·N C) ∈ N)
34	33	adantrr 312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ N ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) → (B ·N C) ∈ N)
35	34	adantll 309	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) → (B ·N C) ∈ N)
36		mulclpi 3815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((w ∈ N ∧ v ∈ N) → (w ·N v) ∈ N)
37	36	adantrr 312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((w ∈ N ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (w ·N v) ∈ N)
38	37	adantll 309	. . . . . . . 8 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (w ·N v) ∈ N)
39	35, 38	anim12i 268	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) ∧ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N))) → ((B ·N C) ∈ N ∧ (w ·N v) ∈ N))
40	39	ancoms 334	. . . . . 6 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) ∧ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N))) → ((B ·N C) ∈ N ∧ (w ·N v) ∈ N))
41	40	an4s 390	. . . . 5 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N))) → ((B ·N C) ∈ N ∧ (w ·N v) ∈ N))
42		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ (z ·N u) ∈ V
43		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ (B ·N C) ∈ V
44	21, 22	ltmpi 3825	. . . . . . 7 ⊢ (f ∈ N → (x <N y ↔ (f ·N x) <N (f ·N y)))
45		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ (w ·N v) ∈ V
46		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ (A ·N D) ∈ V
47	42, 43, 44, 45, 23, 46	caoprord3 3072	. . . . . 6 ⊢ ((((B ·N C) ∈ N ∧ (w ·N v) ∈ N) ∧ ((z ·N u) ·N (B ·N C)) = ((w ·N v) ·N (A ·N D))) → ((z ·N u) <N (w ·N v) ↔ (A ·N D) <N (B ·N C)))
48	47	exp 291	. . . . 5 ⊢ (((B ·N C) ∈ N ∧ (w ·N v) ∈ N) → (((z ·N u) ·N (B ·N C)) = ((w ·N v) ·N (A ·N D)) → ((z ·N u) <N (w ·N v) ↔ (A ·N D) <N (B ·N C))))
49	41, 48	syl 12	. . . 4 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N))) → (((z ·N u) ·N (B ·N C)) = ((w ·N v) ·N (A ·N D)) → ((z ·N u) <N (w ·N v) ↔ (A ·N D) <N (B ·N C))))
50	32, 49	syld 27	. . 3 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N))) → (([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨A, B⟩] ~Q ∧ [⟨v, u⟩] ~Q = [⟨C, D⟩] ~Q ) → ((z ·N u) <N (w ·N v) ↔ (A ·N D) <N (B ·N C))))
51	1, 5, 6, 7, 12, 50	brecop 3242	. 2 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) → ([⟨A, B⟩] ~Q <Q [⟨C, D⟩] ~Q ↔ (A ·N D) <N (B ·N C)))
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 51	brecop2 3243	1 ⊢ ([⟨A, B⟩] ~Q <Q [⟨C, D⟩] ~Q ↔ (A ·N D) <N (B ·N C))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  [cec 3198  Ncnpi 3766   ·_N cmi 3768   <_N clti 3769   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773   <_Q cltq 3778

This theorem is referenced by:  ltsopq 3869  ltapq 3870  ltmpq 3871  1lt2pq 3872  ltexpq 3874  prlem934b 3932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-enq 3831  df-nq 3832  df-ltq 3836

metamath.org