Theorem ordsseleq 2227

Description: For ordinals, subclass is equivalent to membership or equality.

Assertion

Ref	Expression
ordsseleq	⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ⊆ B ↔ (A ∈ B ∨ A = B)))

Proof of Theorem ordsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelssne 2225	. . . . 5 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ∈ B ↔ (A ⊆ B ∧ ¬ A = B)))
2	1	biimprd 136	. . . 4 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → ((A ⊆ B ∧ ¬ A = B) → A ∈ B))
3	2	exp3a 292	. . 3 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ⊆ B → (¬ A = B → A ∈ B)))
4		orcom 209	. . . 4 ⊢ ((A ∈ B ∨ A = B) ↔ (A = B ∨ A ∈ B))
5		df-or 197	. . . 4 ⊢ ((A = B ∨ A ∈ B) ↔ (¬ A = B → A ∈ B))
6	4, 5	bitr 151	. . 3 ⊢ ((A ∈ B ∨ A = B) ↔ (¬ A = B → A ∈ B))
7	3, 6	syl6ibr 186	. 2 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ⊆ B → (A ∈ B ∨ A = B)))
8		pm3.26 256	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ B ∧ ¬ A = B) → A ⊆ B)
9	1, 8	syl6bi 187	. . . 4 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ∈ B → A ⊆ B))
10		eqimss 1548	. . . 4 ⊢ (A = B → A ⊆ B)
11	9, 10	jctir 241	. . 3 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → ((A ∈ B → A ⊆ B) ∧ (A = B → A ⊆ B)))
12		jaob 328	. . 3 ⊢ (((A ∈ B ∨ A = B) → A ⊆ B) ↔ ((A ∈ B → A ⊆ B) ∧ (A = B → A ⊆ B)))
13	11, 12	sylibr 175	. 2 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → ((A ∈ B ∨ A = B) → A ⊆ B))
14	7, 13	impbid 397	1 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ⊆ B ↔ (A ∈ B ∨ A = B)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  Ord word 2198

This theorem is referenced by:  ordtri3or 2230  ordtri1 2231  ordtri2 2233  onsseleq 2254  ordtr2 2257  ordsssuc 2310  ordsucelsuc 2324  ordtri2or 2328  limom 2387

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202

metamath.org