Theorem ordsuc 2318

Description: The successor of an ordinal class is ordinal.

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	⊢ (Ord A ↔ Ord suc A)

Proof of Theorem ordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elong 2207	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ On ↔ Ord A))
2		suceloni 2314	. . . . 5 ⊢ (A ∈ On → suc A ∈ On)
3		eloni 2209	. . . . 5 ⊢ (suc A ∈ On → Ord suc A)
4	2, 3	syl 12	. . . 4 ⊢ (A ∈ On → Ord suc A)
5	1, 4	syl6bir 188	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (Ord A → Ord suc A))
6		ordelord 2221	. . . . . 6 ⊢ ((Ord suc A ∧ A ∈ suc A) → Ord A)
7	6	exp 291	. . . . 5 ⊢ (Ord suc A → (A ∈ suc A → Ord A))
8		sucidg 2305	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → A ∈ suc A)
9	7, 8	syl5 22	. . . 4 ⊢ (Ord suc A → (A ∈ V → Ord A))
10	9	com12 13	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (Ord suc A → Ord A))
11	5, 10	impbid 397	. 2 ⊢ (A ∈ V → (Ord A ↔ Ord suc A))
12		sucprc 2297	. . . 4 ⊢ (¬ A ∈ V → suc A = A)
13	12	cleqcomd 1106	. . 3 ⊢ (¬ A ∈ V → A = suc A)
14		ordeq 2206	. . 3 ⊢ (A = suc A → (Ord A ↔ Ord suc A))
15	13, 14	syl 12	. 2 ⊢ (¬ A ∈ V → (Ord A ↔ Ord suc A))
16	11, 15	pm2.61i 110	1 ⊢ (Ord A ↔ Ord suc A)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  Ord word 2198  Oncon0 2199  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  sucelon 2319  ordsucss 2320  ordsucelsuc 2324  ordsucsssuc 2325  ordsucun 2333  0elsuc 2340  limsssuc 2362  nlimsuc 2363  php4 3412

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205

metamath.org