Theorem ordsucelsuc 2324

Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
ordsucelsuc	⊢ (Ord B → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B))

Proof of Theorem ordsucelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 2227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord suc A ∧ Ord B) → (suc A ⊆ B ↔ (suc A ∈ B ∨ suc A = B)))
2		ordsuc 2318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord A ↔ Ord suc A)
3	1, 2	sylanb 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (suc A ⊆ B ↔ (suc A ∈ B ∨ suc A = B)))
4	3	adantl 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ V ∧ (Ord A ∧ Ord B)) → (suc A ⊆ B ↔ (suc A ∈ B ∨ suc A = B)))
5		ordsucss 2320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord B → (A ∈ B → suc A ⊆ B))
6	5	ad2antrr 323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ V ∧ (Ord A ∧ Ord B)) → (A ∈ B → suc A ⊆ B))
7		sucssel 2321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ V → (suc A ⊆ B → A ∈ B))
8	7	adantr 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ V ∧ (Ord A ∧ Ord B)) → (suc A ⊆ B → A ∈ B))
9	6, 8	impbid 397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ V ∧ (Ord A ∧ Ord B)) → (A ∈ B ↔ suc A ⊆ B))
10		sucexb 2301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ V ↔ suc A ∈ V)
11		elsucg 2290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (suc A ∈ V → (suc A ∈ suc B ↔ (suc A ∈ B ∨ suc A = B)))
12	10, 11	sylbi 174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ V → (suc A ∈ suc B ↔ (suc A ∈ B ∨ suc A = B)))
13	12	adantr 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ V ∧ (Ord A ∧ Ord B)) → (suc A ∈ suc B ↔ (suc A ∈ B ∨ suc A = B)))
14	4, 9, 13	3bitr4d 424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ V ∧ (Ord A ∧ Ord B)) → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B))
15	14	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ V → ((Ord A ∧ Ord B) → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B)))
16		elisset 1354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ B → A ∈ V)
17		elisset 1354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc A ∈ suc B → suc A ∈ V)
18	17, 10	sylibr 175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (suc A ∈ suc B → A ∈ V)
19	16, 18	pm5.21ni 503	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ A ∈ V → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B))
20	19	a1d 14	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ A ∈ V → ((Ord A ∧ Ord B) → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B)))
21	15, 20	pm2.61i 110	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B))
22	21	biimpd 135	. . . . . 6 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ∈ B → suc A ∈ suc B))
23		ordelord 2221	. . . . . 6 ⊢ ((Ord B ∧ A ∈ B) → Ord A)
24	22, 23	sylan 343	. . . . 5 ⊢ (((Ord B ∧ A ∈ B) ∧ Ord B) → (A ∈ B → suc A ∈ suc B))
25	24	exp31 293	. . . 4 ⊢ (Ord B → (A ∈ B → (Ord B → (A ∈ B → suc A ∈ suc B))))
26	25	pm2.43a 60	. . 3 ⊢ (Ord B → (A ∈ B → (A ∈ B → suc A ∈ suc B)))
27	26	pm2.43d 59	. 2 ⊢ (Ord B → (A ∈ B → suc A ∈ suc B))
28	21	biimprd 136	. . . . . 6 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (suc A ∈ suc B → A ∈ B))
29		ordelord 2221	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord suc B ∧ suc A ∈ suc B) → Ord suc A)
30	29, 2	sylibr 175	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord suc B ∧ suc A ∈ suc B) → Ord A)
31		ordsuc 2318	. . . . . . 7 ⊢ (Ord B ↔ Ord suc B)
32	30, 31	sylanb 344	. . . . . 6 ⊢ ((Ord B ∧ suc A ∈ suc B) → Ord A)
33	28, 32	sylan 343	. . . . 5 ⊢ (((Ord B ∧ suc A ∈ suc B) ∧ Ord B) → (suc A ∈ suc B → A ∈ B))
34	33	exp31 293	. . . 4 ⊢ (Ord B → (suc A ∈ suc B → (Ord B → (suc A ∈ suc B → A ∈ B))))
35	34	pm2.43a 60	. . 3 ⊢ (Ord B → (suc A ∈ suc B → (suc A ∈ suc B → A ∈ B)))
36	35	pm2.43d 59	. 2 ⊢ (Ord B → (suc A ∈ suc B → A ∈ B))
37	27, 36	impbid 397	1 ⊢ (Ord B → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  Ord word 2198  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  ordsucsssuc 2325  oalimcl 3162  pssnn 3428  r1pw 3529

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205

metamath.org