Theorem ordsucss 2320

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it.

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	⊢ (Ord B → (A ∈ B → suc A ⊆ B))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordnbtwn 2316	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord A → ¬ (A ∈ B ∧ B ∈ suc A))
2		imnan 207	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ B → ¬ B ∈ suc A) ↔ ¬ (A ∈ B ∧ B ∈ suc A))
3	1, 2	sylibr 175	. . . . . . 7 ⊢ (Ord A → (A ∈ B → ¬ B ∈ suc A))
4	3	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ∈ B → ¬ B ∈ suc A))
5		ordtri1 2231	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord suc A ∧ Ord B) → (suc A ⊆ B ↔ ¬ B ∈ suc A))
6		ordsuc 2318	. . . . . . 7 ⊢ (Ord A ↔ Ord suc A)
7	5, 6	sylanb 344	. . . . . 6 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (suc A ⊆ B ↔ ¬ B ∈ suc A))
8	4, 7	sylibrd 179	. . . . 5 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ∈ B → suc A ⊆ B))
9		ordelord 2221	. . . . 5 ⊢ ((Ord B ∧ A ∈ B) → Ord A)
10	8, 9	sylan 343	. . . 4 ⊢ (((Ord B ∧ A ∈ B) ∧ Ord B) → (A ∈ B → suc A ⊆ B))
11	10	exp31 293	. . 3 ⊢ (Ord B → (A ∈ B → (Ord B → (A ∈ B → suc A ⊆ B))))
12	11	pm2.43b 61	. 2 ⊢ (A ∈ B → (Ord B → (A ∈ B → suc A ⊆ B)))
13	12	pm2.43b 61	1 ⊢ (Ord B → (A ∈ B → suc A ⊆ B))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  Ord word 2198  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  ordelsuc 2322  ordsucelsuc 2324  orduniorsuc 2337  tfindsg2 2403  oaordi 3148  oawordeulem 3156  nnmordi 3188  inf3lem5 3468  r1ord 3499  r1val1 3502  rankval3 3525  indpi 3828

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205

metamath.org