Theorem ordtri1 2231

Description: A trichotomy law for ordinals.

Assertion

Ref	Expression
ordtri1	⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ⊆ B ↔ ¬ B ∈ A))

Proof of Theorem ordtri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 2227	. 2 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ⊆ B ↔ (A ∈ B ∨ A = B)))
2		ordn2lp 2219	. . . . 5 ⊢ (Ord A → ¬ (A ∈ B ∧ B ∈ A))
3		imnan 207	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ B → ¬ B ∈ A) ↔ ¬ (A ∈ B ∧ B ∈ A))
4	2, 3	sylibr 175	. . . 4 ⊢ (Ord A → (A ∈ B → ¬ B ∈ A))
5		eleq2 1150	. . . . . . 7 ⊢ (A = B → (B ∈ A ↔ B ∈ B))
6	5	negbid 463	. . . . . 6 ⊢ (A = B → (¬ B ∈ A ↔ ¬ B ∈ B))
7		ordeirr 2217	. . . . . 6 ⊢ (Ord B → ¬ B ∈ B)
8	6, 7	syl5bir 184	. . . . 5 ⊢ (A = B → (Ord B → ¬ B ∈ A))
9	8	com12 13	. . . 4 ⊢ (Ord B → (A = B → ¬ B ∈ A))
10	4, 9	jaao 330	. . 3 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → ((A ∈ B ∨ A = B) → ¬ B ∈ A))
11		ordtri3or 2230	. . . 4 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A))
12		df-3or 582	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A) ↔ ((A ∈ B ∨ A = B) ∨ B ∈ A))
13		orcom 209	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ B ∨ A = B) ∨ B ∈ A) ↔ (B ∈ A ∨ (A ∈ B ∨ A = B)))
14		df-or 197	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ A ∨ (A ∈ B ∨ A = B)) ↔ (¬ B ∈ A → (A ∈ B ∨ A = B)))
15	12, 13, 14	3bitr 155	. . . 4 ⊢ ((A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A) ↔ (¬ B ∈ A → (A ∈ B ∨ A = B)))
16	11, 15	sylib 173	. . 3 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (¬ B ∈ A → (A ∈ B ∨ A = B)))
17	10, 16	impbid 397	. 2 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → ((A ∈ B ∨ A = B) ↔ ¬ B ∈ A))
18	1, 17	bitrd 406	1 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ⊆ B ↔ ¬ B ∈ A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∨ w3o 580   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  Ord word 2198

This theorem is referenced by:  ontri1 2232  ordtri2 2233  ordtri4 2235  ordsucss 2320  ordsucsssuc 2325  limsssuc 2362  limom 2387  ssnlim 2407  onomeneq 3414  nndomo 3416  isfinite2 3437  unfilem1 3438  r1val2 3522  alephgeom 3687

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202

metamath.org