Theorem ordtri2 2233

Description: A trichotomy law for ordinals.

Assertion

Ref	Expression
ordtri2	⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ∈ B ↔ ¬ (A = B ∨ B ∈ A)))

Proof of Theorem ordtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 2227	. . . . 5 ⊢ ((Ord B ∧ Ord A) → (B ⊆ A ↔ (B ∈ A ∨ B = A)))
2		cleqcom 1103	. . . . . . 7 ⊢ (B = A ↔ A = B)
3	2	orbi2i 214	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ A ∨ B = A) ↔ (B ∈ A ∨ A = B))
4		orcom 209	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ A ∨ A = B) ↔ (A = B ∨ B ∈ A))
5	3, 4	bitr 151	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ A ∨ B = A) ↔ (A = B ∨ B ∈ A))
6	1, 5	syl6bb 414	. . . 4 ⊢ ((Ord B ∧ Ord A) → (B ⊆ A ↔ (A = B ∨ B ∈ A)))
7		ordtri1 2231	. . . 4 ⊢ ((Ord B ∧ Ord A) → (B ⊆ A ↔ ¬ A ∈ B))
8	6, 7	bitr3d 408	. . 3 ⊢ ((Ord B ∧ Ord A) → ((A = B ∨ B ∈ A) ↔ ¬ A ∈ B))
9	8	ancoms 334	. 2 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → ((A = B ∨ B ∈ A) ↔ ¬ A ∈ B))
10	9	bicon2d 404	1 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ∈ B ↔ ¬ (A = B ∨ B ∈ A)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  Ord word 2198

This theorem is referenced by:  ord0eln0 2278  oaord 3149  nnmord 3189  ltsopi 3810

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202

metamath.org