Theorem ordtri4 2235

Description: A trichotomy law for ordinals.

Assertion

Ref	Expression
ordtri4	⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A = B ↔ (A ⊆ B ∧ ¬ A ∈ B)))

Proof of Theorem ordtri4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri3 2234	. 2 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A = B ↔ ¬ (A ∈ B ∨ B ∈ A)))
2		ordtri1 2231	. . . 4 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ⊆ B ↔ ¬ B ∈ A))
3	2	anbi1d 469	. . 3 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → ((A ⊆ B ∧ ¬ A ∈ B) ↔ (¬ B ∈ A ∧ ¬ A ∈ B)))
4		ancom 333	. . . 4 ⊢ ((¬ B ∈ A ∧ ¬ A ∈ B) ↔ (¬ A ∈ B ∧ ¬ B ∈ A))
5		ioran 254	. . . 4 ⊢ (¬ (A ∈ B ∨ B ∈ A) ↔ (¬ A ∈ B ∧ ¬ B ∈ A))
6	4, 5	bitr4 154	. . 3 ⊢ ((¬ B ∈ A ∧ ¬ A ∈ B) ↔ ¬ (A ∈ B ∨ B ∈ A))
7	3, 6	syl6bb 414	. 2 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → ((A ⊆ B ∧ ¬ A ∈ B) ↔ ¬ (A ∈ B ∨ B ∈ A)))
8	1, 7	bitr4d 409	1 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A = B ↔ (A ⊆ B ∧ ¬ A ∈ B)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  Ord word 2198

This theorem is referenced by:  carduni 3664

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202

metamath.org