Theorem ordunisssuc 2334

Description: A subclass relationship for union and successor of ordinal classes.

Assertion

Ref	Expression
ordunisssuc	⊢ ((A ⊆ On ∧ Ord B) → (∪A ⊆ B ↔ A ⊆ suc B))

Proof of Theorem ordunisssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsssuc 2310	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ On ∧ Ord B) → (x ⊆ B ↔ x ∈ suc B))
2		ssel2 1503	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ On ∧ x ∈ A) → x ∈ On)
3	1, 2	sylan 343	. . . 4 ⊢ (((A ⊆ On ∧ x ∈ A) ∧ Ord B) → (x ⊆ B ↔ x ∈ suc B))
4	3	an1rs 373	. . 3 ⊢ (((A ⊆ On ∧ Ord B) ∧ x ∈ A) → (x ⊆ B ↔ x ∈ suc B))
5	4	biraldva 1215	. 2 ⊢ ((A ⊆ On ∧ Ord B) → (∀x ∈ A x ⊆ B ↔ ∀x ∈ A x ∈ suc B))
6		unissb 1941	. 2 ⊢ (∪A ⊆ B ↔ ∀x ∈ A x ⊆ B)
7		dfss3 1498	. 2 ⊢ (A ⊆ suc B ↔ ∀x ∈ A x ∈ suc B)
8	5, 6, 7	3bitr4g 428	1 ⊢ ((A ⊆ On ∧ Ord B) → (∪A ⊆ B ↔ A ⊆ suc B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487  ∪cuni 1919  Ord word 2198  Oncon0 2199  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  onsucuni 2335  isfinite2 3437

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205

metamath.org