Theorem osumlem3 5532

Description: Lemma for osum 5538.

Hypotheses

Ref	Expression
osumlem1.1	⊢ A ∈ Cℋ
osumlem1.2	⊢ B ∈ Cℋ
osumlem1.3	⊢ B ⊆ (⊥ ‘A)
osumlem1.4	⊢ (φ ↔ (((C ∈ A ∧ D ∈ B) ∧ R = (C +v D)) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))))

Assertion

Ref	Expression
osumlem3	⊢ (φ → (norm ‘(D −v y)) ≤ (norm ‘(R −v z)))

Proof of Theorem osumlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		osumlem1.4	. 2 ⊢ (φ ↔ (((C ∈ A ∧ D ∈ B) ∧ R = (C +v D)) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))))
2		osumlem1.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ Cℋ
3		osumlem1.2	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ Cℋ
4		osumlem1.3	. . . . . . 7 ⊢ B ⊆ (⊥ ‘A)
5		pm4.2 148	. . . . . . 7 ⊢ ((((C ∈ A ∧ D ∈ B) ∧ R = (C +v D)) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ↔ (((C ∈ A ∧ D ∈ B) ∧ R = (C +v D)) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))))
6	2, 3, 4, 5	osumlem1 5530	. . . . . 6 ⊢ ((((C ∈ A ∧ D ∈ B) ∧ R = (C +v D)) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ R ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )))
7		hvsubclt 4998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ x ∈ ℋ ) → (C −v x) ∈ ℋ )
8	7	adantrr 312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ (x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ )) → (C −v x) ∈ ℋ )
9	8	adantlr 310	. . . . . . . . 9 ⊢ (((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ (x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ )) → (C −v x) ∈ ℋ )
10	9	adantrr 312	. . . . . . . 8 ⊢ (((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → (C −v x) ∈ ℋ )
11	10	adantlr 310	. . . . . . 7 ⊢ ((((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ R ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → (C −v x) ∈ ℋ )
12		normclt 5076	. . . . . . 7 ⊢ ((C −v x) ∈ ℋ → (norm ‘(C −v x)) ∈ ℝ)
13	11, 12	syl 12	. . . . . 6 ⊢ ((((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ R ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → (norm ‘(C −v x)) ∈ ℝ)
14		sqege0t 4708	. . . . . 6 ⊢ ((norm ‘(C −v x)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((norm ‘(C −v x))↑2))
15	6, 13, 14	3syl 21	. . . . 5 ⊢ ((((C ∈ A ∧ D ∈ B) ∧ R = (C +v D)) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → 0 ≤ ((norm ‘(C −v x))↑2))
16		ax0re 4063	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	16	a1i 7	. . . . . . 7 ⊢ ((((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ R ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → 0 ∈ ℝ)
18		sqreclt 4697	. . . . . . . 8 ⊢ ((norm ‘(C −v x)) ∈ ℝ → ((norm ‘(C −v x))↑2) ∈ ℝ)
19	11, 12, 18	3syl 21	. . . . . . 7 ⊢ ((((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ R ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → ((norm ‘(C −v x))↑2) ∈ ℝ)
20		hvsubclt 4998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((D ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) → (D −v y) ∈ ℋ )
21	20	adantrl 311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((D ∈ ℋ ∧ (x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ )) → (D −v y) ∈ ℋ )
22	21	adantll 309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ (x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ )) → (D −v y) ∈ ℋ )
23	22	adantrr 312	. . . . . . . . 9 ⊢ (((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → (D −v y) ∈ ℋ )
24	23	adantlr 310	. . . . . . . 8 ⊢ ((((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ R ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → (D −v y) ∈ ℋ )
25		normclt 5076	. . . . . . . 8 ⊢ ((D −v y) ∈ ℋ → (norm ‘(D −v y)) ∈ ℝ)
26		sqreclt 4697	. . . . . . . 8 ⊢ ((norm ‘(D −v y)) ∈ ℝ → ((norm ‘(D −v y))↑2) ∈ ℝ)
27	24, 25, 26	3syl 21	. . . . . . 7 ⊢ ((((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ R ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → ((norm ‘(D −v y))↑2) ∈ ℝ)
28	17, 19, 27	3jca 604	. . . . . 6 ⊢ ((((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ R ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → (0 ∈ ℝ ∧ ((norm ‘(C −v x))↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm ‘(D −v y))↑2) ∈ ℝ))
29		leadd1t 4350	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((norm ‘(C −v x))↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm ‘(D −v y))↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((norm ‘(C −v x))↑2) ↔ (0 + ((norm ‘(D −v y))↑2)) ≤ (((norm ‘(C −v x))↑2) + ((norm ‘(D −v y))↑2))))
30	6, 28, 29	3syl 21	. . . . 5 ⊢ ((((C ∈ A ∧ D ∈ B) ∧ R = (C +v D)) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (0 ≤ ((norm ‘(C −v x))↑2) ↔ (0 + ((norm ‘(D −v y))↑2)) ≤ (((norm ‘(C −v x))↑2) + ((norm ‘(D −v y))↑2))))
31	15, 30	mpbid 170	. . . 4 ⊢ ((((C ∈ A ∧ D ∈ B) ∧ R = (C +v D)) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (0 + ((norm ‘(D −v y))↑2)) ≤ (((norm ‘(C −v x))↑2) + ((norm ‘(D −v y))↑2)))
32	27	recnd 4099	. . . . 5 ⊢ ((((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ R ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → ((norm ‘(D −v y))↑2) ∈ ℂ)
33		addid2t 4132	. . . . 5 ⊢ (((norm ‘(D −v y))↑2) ∈ ℂ → (0 + ((norm ‘(D −v y))↑2)) = ((norm ‘(D −v y))↑2))
34	6, 32, 33	3syl 21	. . . 4 ⊢ ((((C ∈ A ∧ D ∈ B) ∧ R = (C +v D)) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (0 + ((norm ‘(D −v y))↑2)) = ((norm ‘(D −v y))↑2))
35	2, 3, 4, 5	osumlem2 5531	. . . 4 ⊢ ((((C ∈ A ∧ D ∈ B) ∧ R = (C +v D)) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (((norm ‘(C −v x))↑2) + ((norm ‘(D −v y))↑2)) = ((norm ‘(R −v z))↑2))
36	31, 34, 35	3brtr3d 2086	. . 3 ⊢ ((((C ∈ A ∧ D ∈ B) ∧ R = (C +v D)) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → ((norm ‘(D −v y))↑2) ≤ ((norm ‘(R −v z))↑2))
37		hvsubclt 4998	. . . . . . 7 ⊢ ((R ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → (R −v z) ∈ ℋ )
38	37	adantrl 311	. . . . . 6 ⊢ ((R ∈ ℋ ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → (R −v z) ∈ ℋ )
39	38	adantll 309	. . . . 5 ⊢ ((((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ R ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → (R −v z) ∈ ℋ )
40	24, 39	jca 236	. . . 4 ⊢ ((((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ R ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → ((D −v y) ∈ ℋ ∧ (R −v z) ∈ ℋ ))
41		le2sqet 4707	. . . . 5 ⊢ (((norm ‘(D −v y)) ∈ ℝ ∧ (norm ‘(R −v z)) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (norm ‘(D −v y)) ∧ 0 ≤ (norm ‘(R −v z))) → ((norm ‘(D −v y)) ≤ (norm ‘(R −v z)) ↔ ((norm ‘(D −v y))↑2) ≤ ((norm ‘(R −v z))↑2))))
42		normclt 5076	. . . . . 6 ⊢ ((R −v z) ∈ ℋ → (norm ‘(R −v z)) ∈ ℝ)
43	25, 42	anim12i 268	. . . . 5 ⊢ (((D −v y) ∈ ℋ ∧ (R −v z) ∈ ℋ ) → ((norm ‘(D −v y)) ∈ ℝ ∧ (norm ‘(R −v z)) ∈ ℝ))
44		normge0t 5077	. . . . . 6 ⊢ ((D −v y) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘(D −v y)))
45		normge0t 5077	. . . . . 6 ⊢ ((R −v z) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘(R −v z)))
46	44, 45	anim12i 268	. . . . 5 ⊢ (((D −v y) ∈ ℋ ∧ (R −v z) ∈ ℋ ) → (0 ≤ (norm ‘(D −v y)) ∧ 0 ≤ (norm ‘(R −v z))))
47	41, 43, 46	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((D −v y) ∈ ℋ ∧ (R −v z) ∈ ℋ ) → ((norm ‘(D −v y)) ≤ (norm ‘(R −v z)) ↔ ((norm ‘(D −v y))↑2) ≤ ((norm ‘(R −v z))↑2)))
48	6, 40, 47	3syl 21	. . 3 ⊢ ((((C ∈ A ∧ D ∈ B) ∧ R = (C +v D)) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → ((norm ‘(D −v y)) ≤ (norm ‘(R −v z)) ↔ ((norm ‘(D −v y))↑2) ≤ ((norm ‘(R −v z))↑2)))
49	36, 48	mpbird 171	. 2 ⊢ ((((C ∈ A ∧ D ∈ B) ∧ R = (C +v D)) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (norm ‘(D −v y)) ≤ (norm ‘(R −v z)))
50	1, 49	sylbi 174	1 ⊢ (φ → (norm ‘(D −v y)) ≤ (norm ‘(R −v z)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028   + caddc 4031   ≤ cle 4092  2c2 4454  ↑cexp 4675   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   −_v cmv 4962  normcno 4964   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969

This theorem is referenced by:  osumlem4 5533

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156

metamath.org