Theorem osumlem4 5533

Description: Lemma for osum 5538.

Hypotheses

Ref	Expression
osumlem4.1	⊢ A ∈ Cℋ
osumlem4.2	⊢ B ∈ Cℋ
osumlem4.3	⊢ B ⊆ (⊥ ‘A)
osumlem4.4	⊢ G ∈ V
osumlem4.5	⊢ H ∈ V

Assertion

Ref	Expression
osumlem4	⊢ ((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (H ⇝v z → G ⇝v y))

Distinct variable group(s):   w,A   w,B   w,F   w,G   w,H   x,w   y,w   z,w

Proof of Theorem osumlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		osumlem4.2	. . . . . . . 8 ⊢ B ∈ Cℋ
2	1	chssi 5136	. . . . . . 7 ⊢ B ⊆ ℋ
3		fss 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((G:ℕ–→B ∧ B ⊆ ℋ ) → G:ℕ–→ ℋ )
4	2, 3	mpan2 519	. . . . . 6 ⊢ (G:ℕ–→B → G:ℕ–→ ℋ )
5	4	ad2antlr 321	. . . . 5 ⊢ (((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) → G:ℕ–→ ℋ )
6		osumlem4.1	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ Cℋ
7	6	chshi 5132	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ Sℋ
8		shocss 5167	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ Sℋ → (⊥ ‘A) ⊆ ℋ )
9	7, 8	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ (⊥ ‘A) ⊆ ℋ
10	9	sseli 1504	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ (⊥ ‘A) → y ∈ ℋ )
11	10	ad2antlr 321	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y)) → y ∈ ℋ )
12	5, 11	anim12i 268	. . . 4 ⊢ ((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (G:ℕ–→ ℋ ∧ y ∈ ℋ ))
13	12	a1d 14	. . 3 ⊢ ((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (H ⇝v z → (G:ℕ–→ ℋ ∧ y ∈ ℋ )))
14		ffvrn 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((F:ℕ–→A ∧ w ∈ ℕ) → (F ‘w) ∈ A)
15	14	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (F:ℕ–→A → (w ∈ ℕ → (F ‘w) ∈ A))
16	15	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (w ∈ ℕ → (F:ℕ–→A → (F ‘w) ∈ A))
17		ffvrn 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((G:ℕ–→B ∧ w ∈ ℕ) → (G ‘w) ∈ B)
18	17	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (G:ℕ–→B → (w ∈ ℕ → (G ‘w) ∈ B))
19	18	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (w ∈ ℕ → (G:ℕ–→B → (G ‘w) ∈ B))
20	16, 19	anim12d 431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (w ∈ ℕ → ((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) → ((F ‘w) ∈ A ∧ (G ‘w) ∈ B)))
21		osumlem4.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ B ⊆ (⊥ ‘A)
22		pm4.2 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((F ‘w) ∈ A ∧ (G ‘w) ∈ B) ∧ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ↔ ((((F ‘w) ∈ A ∧ (G ‘w) ∈ B) ∧ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))))
23	6, 1, 21, 22	osumlem3 5532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((F ‘w) ∈ A ∧ (G ‘w) ∈ B) ∧ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (norm ‘((G ‘w) −v y)) ≤ (norm ‘((H ‘w) −v z)))
24	23	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((F ‘w) ∈ A ∧ (G ‘w) ∈ B) ∧ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ∧ u ∈ ℝ) → (norm ‘((G ‘w) −v y)) ≤ (norm ‘((H ‘w) −v z)))
25	6, 1, 21, 22	osumlem1 5530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((F ‘w) ∈ A ∧ (G ‘w) ∈ B) ∧ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → ((((F ‘w) ∈ ℋ ∧ (G ‘w) ∈ ℋ ) ∧ (H ‘w) ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )))
26		lelttrt 4289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((norm ‘((G ‘w) −v y)) ∈ ℝ ∧ (norm ‘((H ‘w) −v z)) ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ) → (((norm ‘((G ‘w) −v y)) ≤ (norm ‘((H ‘w) −v z)) ∧ (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))
27	26	3exp 611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((norm ‘((G ‘w) −v y)) ∈ ℝ → ((norm ‘((H ‘w) −v z)) ∈ ℝ → (u ∈ ℝ → (((norm ‘((G ‘w) −v y)) ≤ (norm ‘((H ‘w) −v z)) ∧ (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))))
28		hvsubclt 4998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((G ‘w) ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) → ((G ‘w) −v y) ∈ ℋ )
29		normclt 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((G ‘w) −v y) ∈ ℋ → (norm ‘((G ‘w) −v y)) ∈ ℝ)
30	28, 29	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((G ‘w) ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) → (norm ‘((G ‘w) −v y)) ∈ ℝ)
31	30	adantrl 311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((G ‘w) ∈ ℋ ∧ (x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ )) → (norm ‘((G ‘w) −v y)) ∈ ℝ)
32	31	adantll 309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((F ‘w) ∈ ℋ ∧ (G ‘w) ∈ ℋ ) ∧ (x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ )) → (norm ‘((G ‘w) −v y)) ∈ ℝ)
33	32	adantrr 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((F ‘w) ∈ ℋ ∧ (G ‘w) ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → (norm ‘((G ‘w) −v y)) ∈ ℝ)
34	33	adantlr 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((F ‘w) ∈ ℋ ∧ (G ‘w) ∈ ℋ ) ∧ (H ‘w) ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → (norm ‘((G ‘w) −v y)) ∈ ℝ)
35		hvsubclt 4998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((H ‘w) ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → ((H ‘w) −v z) ∈ ℋ )
36		normclt 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((H ‘w) −v z) ∈ ℋ → (norm ‘((H ‘w) −v z)) ∈ ℝ)
37	35, 36	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((H ‘w) ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → (norm ‘((H ‘w) −v z)) ∈ ℝ)
38	37	adantrl 311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((H ‘w) ∈ ℋ ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → (norm ‘((H ‘w) −v z)) ∈ ℝ)
39	38	adantll 309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((F ‘w) ∈ ℋ ∧ (G ‘w) ∈ ℋ ) ∧ (H ‘w) ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → (norm ‘((H ‘w) −v z)) ∈ ℝ)
40	27, 34, 39	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((F ‘w) ∈ ℋ ∧ (G ‘w) ∈ ℋ ) ∧ (H ‘w) ∈ ℋ ) ∧ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ )) → (u ∈ ℝ → (((norm ‘((G ‘w) −v y)) ≤ (norm ‘((H ‘w) −v z)) ∧ (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u)))
41	25, 40	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((F ‘w) ∈ A ∧ (G ‘w) ∈ B) ∧ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (u ∈ ℝ → (((norm ‘((G ‘w) −v y)) ≤ (norm ‘((H ‘w) −v z)) ∧ (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u)))
42	41	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((F ‘w) ∈ A ∧ (G ‘w) ∈ B) ∧ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ∧ u ∈ ℝ) → (((norm ‘((G ‘w) −v y)) ≤ (norm ‘((H ‘w) −v z)) ∧ (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))
43	24, 42	mpand 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((F ‘w) ∈ A ∧ (G ‘w) ∈ B) ∧ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ∧ u ∈ ℝ) → ((norm ‘((H ‘w) −v z)) < u → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))
44	43	exp41 299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((F ‘w) ∈ A ∧ (G ‘w) ∈ B) → ((H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w)) → (((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y)) → (u ∈ ℝ → ((norm ‘((H ‘w) −v z)) < u → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u)))))
45	44	com24 37	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((F ‘w) ∈ A ∧ (G ‘w) ∈ B) → (u ∈ ℝ → (((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y)) → ((H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w)) → ((norm ‘((H ‘w) −v z)) < u → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u)))))
46	20, 45	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (w ∈ ℕ → ((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) → (u ∈ ℝ → (((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y)) → ((H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w)) → ((norm ‘((H ‘w) −v z)) < u → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))))))
47	46	com4l 39	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) → (u ∈ ℝ → (((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y)) → (w ∈ ℕ → ((H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w)) → ((norm ‘((H ‘w) −v z)) < u → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))))))
48	47	imp41 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ u ∈ ℝ) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ∧ w ∈ ℕ) → ((H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w)) → ((norm ‘((H ‘w) −v z)) < u → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u)))
49		syl1 16	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((norm ‘((H ‘w) −v z)) < u → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u) → ((v ≤ w → (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u)))
50	48, 49	syl6 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ u ∈ ℝ) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ∧ w ∈ ℕ) → ((H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w)) → ((v ≤ w → (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))))
51	50	r19.20dva 1256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ u ∈ ℝ) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w)) → ∀w ∈ ℕ ((v ≤ w → (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))))
52	51	exp31 293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) → (u ∈ ℝ → (((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y)) → (∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w)) → ∀w ∈ ℕ ((v ≤ w → (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))))))
53	52	com24 37	. . . . . . . . 9 ⊢ ((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) → (∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w)) → (((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y)) → (u ∈ ℝ → ∀w ∈ ℕ ((v ≤ w → (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))))))
54	53	imp41 286	. . . . . . . 8 ⊢ (((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ∧ u ∈ ℝ) → ∀w ∈ ℕ ((v ≤ w → (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u)))
55		r19.20 1251	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w ∈ ℕ ((v ≤ w → (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u)) → (∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → ∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u)))
56	54, 55	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ∧ u ∈ ℝ) → (∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → ∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u)))
57	56	r19.22sdv 1279	. . . . . 6 ⊢ (((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ∧ u ∈ ℝ) → (∃v ∈ ℕ ∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u) → ∃v ∈ ℕ ∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u)))
58	57	syl3d 26	. . . . 5 ⊢ (((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ∧ u ∈ ℝ) → ((0 < u → ∃v ∈ ℕ ∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u)) → (0 < u → ∃v ∈ ℕ ∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))))
59	58	r19.20dva 1256	. . . 4 ⊢ ((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (∀u ∈ ℝ (0 < u → ∃v ∈ ℕ ∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u)) → ∀u ∈ ℝ (0 < u → ∃v ∈ ℕ ∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))))
60		osumlem4.5	. . . . 5 ⊢ H ∈ V
61		visset 1350	. . . . 5 ⊢ z ∈ V
62	60, 61	hlimconv 5111	. . . 4 ⊢ (H ⇝v z → ∀u ∈ ℝ (0 < u → ∃v ∈ ℕ ∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((H ‘w) −v z)) < u)))
63	59, 62	syl5 22	. . 3 ⊢ ((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (H ⇝v z → ∀u ∈ ℝ (0 < u → ∃v ∈ ℕ ∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))))
64	13, 63	jcad 455	. 2 ⊢ ((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (H ⇝v z → ((G:ℕ–→ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀u ∈ ℝ (0 < u → ∃v ∈ ℕ ∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u)))))
65		osumlem4.4	. . 3 ⊢ G ∈ V
66		visset 1350	. . 3 ⊢ y ∈ V
67	65, 66	hlim 5108	. 2 ⊢ (G ⇝v y ↔ ((G:ℕ–→ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀u ∈ ℝ (0 < u → ∃v ∈ ℕ ∀w ∈ ℕ (v ≤ w → (norm ‘((G ‘w) −v y)) < u))))
68	64, 67	syl6ibr 186	1 ⊢ ((((F:ℕ–→A ∧ G:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((F ‘w) +v (G ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (H ⇝v z → G ⇝v y))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028   < clt 4033   ≤ cle 4092  ℕcn 4093   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   −_v cmv 4962  normcno 4964   ⇝_v chli 4966   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969

This theorem is referenced by:  osumlem6 5535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156

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