Theorem osumlem6 5535

Description: Lemma for osum 5538.

Hypotheses

Ref	Expression
osumlem6.1	⊢ A ∈ Cℋ
osumlem6.2	⊢ B ∈ Cℋ
osumlem6.3	⊢ B ⊆ (⊥ ‘A)
osumlem6.4	⊢ H ∈ V

Assertion

Ref	Expression
osumlem6	⊢ (((H:ℕ–→(A +ℋ B) ∧ H ⇝v z) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → y ∈ B)

Proof of Theorem osumlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		osumlem6.1	. . . 4 ⊢ A ∈ Cℋ
2		osumlem6.2	. . . 4 ⊢ B ∈ Cℋ
3	1, 2	osumlem5 5534	. . 3 ⊢ (H:ℕ–→(A +ℋ B) → ∃f∃g((f:ℕ–→A ∧ g:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((f ‘w) +v (g ‘w))))
4		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ y ∈ V
5	4	chlim 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ Cℋ → ((g:ℕ–→B ∧ g ⇝v y) → y ∈ B))
6	2, 5	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ ((g:ℕ–→B ∧ g ⇝v y) → y ∈ B)
7		pm3.27 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((f:ℕ–→A ∧ g:ℕ–→B) → g:ℕ–→B)
8	7	adantr 306	. . . . . . . 8 ⊢ (((f:ℕ–→A ∧ g:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((f ‘w) +v (g ‘w))) → g:ℕ–→B)
9	8	ad2antll 320	. . . . . . 7 ⊢ (((((f:ℕ–→A ∧ g:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((f ‘w) +v (g ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ∧ H ⇝v z) → g:ℕ–→B)
10		osumlem6.3	. . . . . . . . 9 ⊢ B ⊆ (⊥ ‘A)
11		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ g ∈ V
12		osumlem6.4	. . . . . . . . 9 ⊢ H ∈ V
13	1, 2, 10, 11, 12	osumlem4 5533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((f:ℕ–→A ∧ g:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((f ‘w) +v (g ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → (H ⇝v z → g ⇝v y))
14	13	imp 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((f:ℕ–→A ∧ g:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((f ‘w) +v (g ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ∧ H ⇝v z) → g ⇝v y)
15	6, 9, 14	sylanc 361	. . . . . 6 ⊢ (((((f:ℕ–→A ∧ g:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((f ‘w) +v (g ‘w))) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) ∧ H ⇝v z) → y ∈ B)
16	15	exp31 293	. . . . 5 ⊢ (((f:ℕ–→A ∧ g:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((f ‘w) +v (g ‘w))) → (((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y)) → (H ⇝v z → y ∈ B)))
17	16	com23 32	. . . 4 ⊢ (((f:ℕ–→A ∧ g:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((f ‘w) +v (g ‘w))) → (H ⇝v z → (((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y)) → y ∈ B)))
18	17	19.23aivv 953	. . 3 ⊢ (∃f∃g((f:ℕ–→A ∧ g:ℕ–→B) ∧ ∀w ∈ ℕ (H ‘w) = ((f ‘w) +v (g ‘w))) → (H ⇝v z → (((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y)) → y ∈ B)))
19	3, 18	syl 12	. 2 ⊢ (H:ℕ–→(A +ℋ B) → (H ⇝v z → (((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y)) → y ∈ B)))
20	19	imp31 280	1 ⊢ (((H:ℕ–→(A +ℋ B) ∧ H ⇝v z) ∧ ((x ∈ A ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ∧ z = (x +v y))) → y ∈ B)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℕcn 4093   +_v cva 4959   ⇝_v chli 4966   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   +_ℋ cph 4970

This theorem is referenced by:  osumlem7 5536

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-shsum 5275

metamath.org