Theorem peano1 2390

Description: Zero is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: our proofs of peano1 2390 through peano5 2394 do not use the axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
peano1	⊢ ∅ ∈ ω

Proof of Theorem peano1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 2387	. 2 ⊢ Lim ω
2		0ellim 2285	. 2 ⊢ (Lim ω → ∅ ∈ ω)
3	1, 2	ax-mp 6	1 ⊢ ∅ ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707  Lim wlim 2200  ωcom 2372

This theorem is referenced by:  frzer 2990  nnmcl 3173  nnmsucr 3182  nnmordi 3188  1onn 3193  snfi 3337  0sdom1dom 3420  infn0 3427  unblem2 3432  unfilem3 3440  inf0 3457  inf5 3472  inf4 3473  dfom3 3477  trcl 3489  cardlim 3657  alephgeom 3687  mulclpi 3815  1lt2pi 3826  om2uzran 4655  uzrdgini 4658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373

metamath.org