Theorem peano2b 2388

Description: A class belongs to omega iff its successor does.

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (A ∈ ω ↔ suc A ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 2387	. 2 ⊢ Lim ω
2		limsuc 2361	. 2 ⊢ (Lim ω → (A ∈ ω ↔ suc A ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 6	1 ⊢ (A ∈ ω ↔ suc A ∈ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092  Lim wlim 2200  suc csuc 2201  ωcom 2372

This theorem is referenced by:  nnsuc 2389  peano2 2391  peano5 2394  frsuc 2991  nnacom 3175  nnmsucr 3182  nnmordi 3188  omsmolem 3195  php 3409  php4 3412  omsucdom 3418  unblem1 3431  isfinite2 3437  inf0 3457  inf3lem1 3464  inf3lem5 3468  sucdom 3648  indpi 3828

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373

metamath.org