Theorem peano2uz 4602

Description: Second Peano postulate for upper integer partition.

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ ((A ∈ ℤ ∧ B ∈ {x ∈ ℤ∣A ≤ x}) → (B + 1) ∈ {x ∈ ℤ∣A ≤ x})

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 4584	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zaddclt 4590	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (B + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 519	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℤ → (B + 1) ∈ ℤ)
4	3	ad2antrl 322	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ (B ∈ ℤ ∧ A ≤ B)) → (B + 1) ∈ ℤ)
5		ltlet 4286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ (B + 1) ∈ ℝ) → (B < (B + 1) → B ≤ (B + 1)))
6		ax1re 4064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		axaddrcl 4067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (B + 1) ∈ ℝ)
8	6, 7	mpan2 519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ ℝ → (B + 1) ∈ ℝ)
9	8	ancli 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ ℝ → (B ∈ ℝ ∧ (B + 1) ∈ ℝ))
10		ltplus1t 4383	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ ℝ → B < (B + 1))
11	5, 9, 10	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℝ → B ≤ (B + 1))
12	11	adantl 305	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → B ≤ (B + 1))
13		letrt 4291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (B + 1) ∈ ℝ) → ((A ≤ B ∧ B ≤ (B + 1)) → A ≤ (B + 1)))
14	13	3expb 613	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ (B ∈ ℝ ∧ (B + 1) ∈ ℝ)) → ((A ≤ B ∧ B ≤ (B + 1)) → A ≤ (B + 1)))
15	14, 9	sylan2 346	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A ≤ B ∧ B ≤ (B + 1)) → A ≤ (B + 1)))
16	12, 15	mpan2d 525	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A ≤ B → A ≤ (B + 1)))
17		zret 4567	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℤ → A ∈ ℝ)
18		zret 4567	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ℤ → B ∈ ℝ)
19	16, 17, 18	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ B ∈ ℤ) → (A ≤ B → A ≤ (B + 1)))
20	19	exp 291	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℤ → (B ∈ ℤ → (A ≤ B → A ≤ (B + 1))))
21	20	imp32 281	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ (B ∈ ℤ ∧ A ≤ B)) → A ≤ (B + 1))
22	4, 21	jca 236	. 2 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ (B ∈ ℤ ∧ A ≤ B)) → ((B + 1) ∈ ℤ ∧ A ≤ (B + 1)))
23		breq2 2066	. . . 4 ⊢ (x = B → (A ≤ x ↔ A ≤ B))
24	23	elrab 1422	. . 3 ⊢ (B ∈ {x ∈ ℤ∣A ≤ x} ↔ (B ∈ ℤ ∧ A ≤ B))
25	24	anbi2i 367	. 2 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ B ∈ {x ∈ ℤ∣A ≤ x}) ↔ (A ∈ ℤ ∧ (B ∈ ℤ ∧ A ≤ B)))
26		breq2 2066	. . 3 ⊢ (x = (B + 1) → (A ≤ x ↔ A ≤ (B + 1)))
27	26	elrab 1422	. 2 ⊢ ((B + 1) ∈ {x ∈ ℤ∣A ≤ x} ↔ ((B + 1) ∈ ℤ ∧ A ≤ (B + 1)))
28	22, 25, 27	3imtr4 192	1 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ B ∈ {x ∈ ℤ∣A ≤ x}) → (B + 1) ∈ {x ∈ ℤ∣A ≤ x})

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  {crab 1204   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   ≤ cle 4092  ℤcz 4095

This theorem is referenced by:  om2uzuz 4653  uzrdgsuc 4659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org