Theorem peano5 2394

Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43.

Assertion

Ref	Expression
peano5	⊢ ((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) → ω ⊆ A)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem peano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 1592	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ (ω ∖ A) → ¬ y ∈ A)
2	1	adantl 305	. . . . 5 ⊢ (((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ∧ y ∈ (ω ∖ A)) → ¬ y ∈ A)
3		nnsuc 2389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ω ∧ ¬ y = ∅) → ∃x ∈ ω y = suc x)
4		eldifi 1591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ (ω ∖ A) → y ∈ ω)
5	4	adantl 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ A ∧ y ∈ (ω ∖ A)) → y ∈ ω)
6		elndif 1593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ A → ¬ ∅ ∈ (ω ∖ A))
7		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = ∅ → (y ∈ (ω ∖ A) ↔ ∅ ∈ (ω ∖ A)))
8	7	biimpcd 137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ (ω ∖ A) → (y = ∅ → ∅ ∈ (ω ∖ A)))
9	8	con3d 87	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ (ω ∖ A) → (¬ ∅ ∈ (ω ∖ A) → ¬ y = ∅))
10	9	com12 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ∅ ∈ (ω ∖ A) → (y ∈ (ω ∖ A) → ¬ y = ∅))
11	6, 10	syl 12	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ A → (y ∈ (ω ∖ A) → ¬ y = ∅))
12	11	imp 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ A ∧ y ∈ (ω ∖ A)) → ¬ y = ∅)
13	3, 5, 12	sylanc 361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ ∈ A ∧ y ∈ (ω ∖ A)) → ∃x ∈ ω y = suc x)
14	13	adantlr 310	. . . . . . . 8 ⊢ (((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ∧ y ∈ (ω ∖ A)) → ∃x ∈ ω y = suc x)
15	14	adantr 306	. . . . . . 7 ⊢ ((((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ∧ y ∈ (ω ∖ A)) ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → ∃x ∈ ω y = suc x)
16		hbra1 1237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) → ∀x∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A))
17		ax-17 925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ (ω ∖ A) ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → ∀x(y ∈ (ω ∖ A) ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅))
18	16, 17	hban 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) ∧ (y ∈ (ω ∖ A) ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)) → ∀x(∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) ∧ (y ∈ (ω ∖ A) ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)))
19		ax-17 925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ A → ∀x y ∈ A)
20		ra4 1243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) → (x ∈ ω → (x ∈ A → suc x ∈ A)))
21		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ x ∈ V
22	21	sucid 2304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ x ∈ suc x
23		eleq2 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y = suc x → (x ∈ y ↔ x ∈ suc x))
24	22, 23	mpbiri 169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y = suc x → x ∈ y)
25		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y = suc x → (y ∈ ω ↔ suc x ∈ ω))
26		peano2b 2388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (x ∈ ω ↔ suc x ∈ ω)
27	25, 26	syl6bbr 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y = suc x → (y ∈ ω ↔ x ∈ ω))
28		neldif 1594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((x ∈ ω ∧ ¬ x ∈ (ω ∖ A)) → x ∈ A)
29		minel 1743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((x ∈ y ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → ¬ x ∈ (ω ∖ A))
30	28, 29	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((x ∈ ω ∧ (x ∈ y ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)) → x ∈ A)
31	30	exp32 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x ∈ ω → (x ∈ y → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → x ∈ A)))
32	27, 31	syl6bi 187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y = suc x → (y ∈ ω → (x ∈ y → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → x ∈ A))))
33	24, 32	mpid 48	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y = suc x → (y ∈ ω → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → x ∈ A)))
34	33, 4	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = suc x → (y ∈ (ω ∖ A) → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → x ∈ A)))
35	34	imp3a 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = suc x → ((y ∈ (ω ∖ A) ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → x ∈ A))
36		eleq1a 1158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (suc x ∈ A → (y = suc x → y ∈ A))
37	36	com12 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = suc x → (suc x ∈ A → y ∈ A))
38	35, 37	syl34d 29	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = suc x → ((x ∈ A → suc x ∈ A) → ((y ∈ (ω ∖ A) ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → y ∈ A)))
39	38	com13 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ (ω ∖ A) ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → ((x ∈ A → suc x ∈ A) → (y = suc x → y ∈ A)))
40	20, 39	sylan9 359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) ∧ (y ∈ (ω ∖ A) ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)) → (x ∈ ω → (y = suc x → y ∈ A)))
41	18, 19, 40	r19.23ad 1285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) ∧ (y ∈ (ω ∖ A) ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)) → (∃x ∈ ω y = suc x → y ∈ A))
42	41	exp32 294	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) → (y ∈ (ω ∖ A) → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → (∃x ∈ ω y = suc x → y ∈ A))))
43	42	a1i 7	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ A → (∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) → (y ∈ (ω ∖ A) → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → (∃x ∈ ω y = suc x → y ∈ A)))))
44	43	imp41 286	. . . . . . 7 ⊢ ((((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ∧ y ∈ (ω ∖ A)) ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → (∃x ∈ ω y = suc x → y ∈ A))
45	15, 44	mpd 46	. . . . . 6 ⊢ ((((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ∧ y ∈ (ω ∖ A)) ∧ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → y ∈ A)
46	45	exp 291	. . . . 5 ⊢ (((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ∧ y ∈ (ω ∖ A)) → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → y ∈ A))
47	2, 46	mtod 95	. . . 4 ⊢ (((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ∧ y ∈ (ω ∖ A)) → ¬ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)
48	47	nrexdv 1271	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) → ¬ ∃y ∈ (ω ∖ A)((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)
49		difss 1596	. . . 4 ⊢ (ω ∖ A) ⊆ ω
50		ordom 2382	. . . . 5 ⊢ Ord ω
51		tz7.5 2220	. . . . 5 ⊢ ((Ord ω ∧ ((ω ∖ A) ⊆ ω ∧ ¬ (ω ∖ A) = ∅)) → ∃y ∈ (ω ∖ A)((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)
52	50, 51	mpan 518	. . . 4 ⊢ (((ω ∖ A) ⊆ ω ∧ ¬ (ω ∖ A) = ∅) → ∃y ∈ (ω ∖ A)((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)
53	49, 52	mpan 518	. . 3 ⊢ (¬ (ω ∖ A) = ∅ → ∃y ∈ (ω ∖ A)((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)
54	48, 53	nsyl2 103	. 2 ⊢ ((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) → (ω ∖ A) = ∅)
55		ssdif0 1748	. 2 ⊢ (ω ⊆ A ↔ (ω ∖ A) = ∅)
56	54, 55	sylibr 175	1 ⊢ ((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) → ω ⊆ A)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ∖ cdif 1484   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  Ord word 2198  suc csuc 2201  ωcom 2372

This theorem is referenced by:  find 2396  finds 2397  finds2 2399  omex 3475  dfom3 3477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373

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