Theorem pjadj 5564

Description: A projection is self-adjoint. Property (i) of [Beran] p. 109.

Hypotheses

Ref	Expression
pjidm.1	⊢ H ∈ Cℋ
pjidm.2	⊢ A ∈ ℋ
pjadj.3	⊢ B ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjadj	⊢ (((Proj ‘H) ‘A) ·i B) = (A ·i ((Proj ‘H) ‘B))

Proof of Theorem pjadj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidm.1	. . . . . . . 8 ⊢ H ∈ Cℋ
2		pjadj.3	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ ℋ
3		pjidm.2	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ ℋ
4	2, 3	pjorth 5559	. . . . . . . 8 ⊢ (H ∈ Cℋ → (((Proj ‘H) ‘B) ·i ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) = 0)
5	1, 4	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ (((Proj ‘H) ‘B) ·i ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) = 0
6	5	fveq2i 2835	. . . . . 6 ⊢ (∗ ‘(((Proj ‘H) ‘B) ·i ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))) = (∗ ‘0)
7		cj0 4835	. . . . . 6 ⊢ (∗ ‘0) = 0
8	6, 7	eqtr 1119	. . . . 5 ⊢ (∗ ‘(((Proj ‘H) ‘B) ·i ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))) = 0
9	1	chocl 5192	. . . . . . 7 ⊢ (⊥ ‘H) ∈ Cℋ
10	9, 3	pjhcli 5258	. . . . . 6 ⊢ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ ℋ
11	1, 2	pjhcli 5258	. . . . . 6 ⊢ ((Proj ‘H) ‘B) ∈ ℋ
12		ax-his1 5045	. . . . . 6 ⊢ ((((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ ℋ ∧ ((Proj ‘H) ‘B) ∈ ℋ ) → (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ·i ((Proj ‘H) ‘B)) = (∗ ‘(((Proj ‘H) ‘B) ·i ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))))
13	10, 11, 12	mp2an 520	. . . . 5 ⊢ (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ·i ((Proj ‘H) ‘B)) = (∗ ‘(((Proj ‘H) ‘B) ·i ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)))
14	3, 2	pjorth 5559	. . . . . 6 ⊢ (H ∈ Cℋ → (((Proj ‘H) ‘A) ·i ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘B)) = 0)
15	1, 14	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ (((Proj ‘H) ‘A) ·i ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘B)) = 0
16	8, 13, 15	3eqtr4r 1127	. . . 4 ⊢ (((Proj ‘H) ‘A) ·i ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘B)) = (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ·i ((Proj ‘H) ‘B))
17	16	opreq2i 3010	. . 3 ⊢ ((((Proj ‘H) ‘A) ·i ((Proj ‘H) ‘B)) + (((Proj ‘H) ‘A) ·i ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘B))) = ((((Proj ‘H) ‘A) ·i ((Proj ‘H) ‘B)) + (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ·i ((Proj ‘H) ‘B)))
18	1, 3	pjhcli 5258	. . . 4 ⊢ ((Proj ‘H) ‘A) ∈ ℋ
19	9, 2	pjhcli 5258	. . . 4 ⊢ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘B) ∈ ℋ
20		his7 5051	. . . 4 ⊢ ((((Proj ‘H) ‘A) ∈ ℋ ∧ ((Proj ‘H) ‘B) ∈ ℋ ∧ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘B) ∈ ℋ ) → (((Proj ‘H) ‘A) ·i (((Proj ‘H) ‘B) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘B))) = ((((Proj ‘H) ‘A) ·i ((Proj ‘H) ‘B)) + (((Proj ‘H) ‘A) ·i ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘B))))
21	18, 11, 19, 20	mp3an 642	. . 3 ⊢ (((Proj ‘H) ‘A) ·i (((Proj ‘H) ‘B) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘B))) = ((((Proj ‘H) ‘A) ·i ((Proj ‘H) ‘B)) + (((Proj ‘H) ‘A) ·i ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘B)))
22		ax-his2 5046	. . . 4 ⊢ ((((Proj ‘H) ‘A) ∈ ℋ ∧ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ ℋ ∧ ((Proj ‘H) ‘B) ∈ ℋ ) → ((((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ·i ((Proj ‘H) ‘B)) = ((((Proj ‘H) ‘A) ·i ((Proj ‘H) ‘B)) + (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ·i ((Proj ‘H) ‘B))))
23	18, 10, 11, 22	mp3an 642	. . 3 ⊢ ((((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ·i ((Proj ‘H) ‘B)) = ((((Proj ‘H) ‘A) ·i ((Proj ‘H) ‘B)) + (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ·i ((Proj ‘H) ‘B)))
24	17, 21, 23	3eqtr4 1126	. 2 ⊢ (((Proj ‘H) ‘A) ·i (((Proj ‘H) ‘B) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘B))) = ((((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ·i ((Proj ‘H) ‘B))
25	1, 2	pjpj 5261	. . 3 ⊢ B = (((Proj ‘H) ‘B) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘B))
26	25	opreq2i 3010	. 2 ⊢ (((Proj ‘H) ‘A) ·i B) = (((Proj ‘H) ‘A) ·i (((Proj ‘H) ‘B) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘B)))
27	1, 3	pjpj 5261	. . 3 ⊢ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))
28	27	opreq1i 3009	. 2 ⊢ (A ·i ((Proj ‘H) ‘B)) = ((((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ·i ((Proj ‘H) ‘B))
29	24, 26, 28	3eqtr4 1126	1 ⊢ (((Proj ‘H) ‘A) ·i B) = (A ·i ((Proj ‘H) ‘B))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028   + caddc 4031  ∗ccj 4788   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_i csp 4963   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  pjinorm 5567  pjadjt 5576

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244

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