Theorem pjfn 5586

Description: Functionality of a projection.

Hypothesis

Ref	Expression
pjfn.1	⊢ H ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjfn	⊢ (Proj ‘H) Fn ℋ

Proof of Theorem pjfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjfn.1	. . . . 5 ⊢ H ∈ Cℋ
2	1	elisseti 1355	. . . 4 ⊢ H ∈ V
3	2	rabex 1706	. . 3 ⊢ {z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)} ∈ V
4	3	uniex 1947	. 2 ⊢ ∪{z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)} ∈ V
5		pjmvalt 5245	. . 3 ⊢ (H ∈ Cℋ → (Proj ‘H) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ∪{z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)})})
6	1, 5	ax-mp 6	. 2 ⊢ (Proj ‘H) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ∪{z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)})}
7	4, 6	fnopab2 2747	1 ⊢ (Proj ‘H) Fn ℋ

Syntax hints:   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  {crab 1204  ∪cuni 1919  {copab 2055   Fn wfn 2417   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  pjrn 5587  pjf 5588  pjoi0 5592  ho0 5612  ho1 5613

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-pj 5244

metamath.org