Theorem pjmvalt 5245

Description: The value of the projection map.

Assertion

Ref	Expression
pjmvalt	⊢ (H ∈ Cℋ → (Proj ‘H) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ∪{z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)})})

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,H

Proof of Theorem pjmvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (h = H → (z ∈ h ↔ z ∈ H))
2		fveq2 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (h = H → (⊥ ‘h) = (⊥ ‘H))
3		rexeq 1325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊥ ‘h) = (⊥ ‘H) → (∃w ∈ (⊥ ‘h)x = (z +v w) ↔ ∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)))
4	2, 3	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ (h = H → (∃w ∈ (⊥ ‘h)x = (z +v w) ↔ ∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)))
5	1, 4	anbi12d 476	. . . . . . . 8 ⊢ (h = H → ((z ∈ h ∧ ∃w ∈ (⊥ ‘h)x = (z +v w)) ↔ (z ∈ H ∧ ∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w))))
6	5	biabdv 1183	. . . . . . 7 ⊢ (h = H → {z∣(z ∈ h ∧ ∃w ∈ (⊥ ‘h)x = (z +v w))} = {z∣(z ∈ H ∧ ∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w))})
7		df-rab 1208	. . . . . . 7 ⊢ {z ∈ h∣∃w ∈ (⊥ ‘h)x = (z +v w)} = {z∣(z ∈ h ∧ ∃w ∈ (⊥ ‘h)x = (z +v w))}
8		df-rab 1208	. . . . . . 7 ⊢ {z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)} = {z∣(z ∈ H ∧ ∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w))}
9	6, 7, 8	3eqtr4g 1147	. . . . . 6 ⊢ (h = H → {z ∈ h∣∃w ∈ (⊥ ‘h)x = (z +v w)} = {z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)})
10	9	unieqd 1929	. . . . 5 ⊢ (h = H → ∪{z ∈ h∣∃w ∈ (⊥ ‘h)x = (z +v w)} = ∪{z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)})
11	10	cleq2d 1112	. . . 4 ⊢ (h = H → (y = ∪{z ∈ h∣∃w ∈ (⊥ ‘h)x = (z +v w)} ↔ y = ∪{z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)}))
12	11	anbi2d 468	. . 3 ⊢ (h = H → ((x ∈ ℋ ∧ y = ∪{z ∈ h∣∃w ∈ (⊥ ‘h)x = (z +v w)}) ↔ (x ∈ ℋ ∧ y = ∪{z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)})))
13	12	biopabdv 2102	. 2 ⊢ (h = H → {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ∪{z ∈ h∣∃w ∈ (⊥ ‘h)x = (z +v w)})} = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ∪{z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)})})
14		df-pj 5244	. 2 ⊢ Proj = {⟨h, f⟩∣(h ∈ Cℋ ∧ f = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ∪{z ∈ h∣∃w ∈ (⊥ ‘h)x = (z +v w)})})}
15		ax-hilex 4983	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
16		moeq 1431	. . . 4 ⊢ ∃*y y = ∪{z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)}
17	16	a1i 7	. . 3 ⊢ (x ∈ ℋ → ∃*y y = ∪{z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)})
18	15, 17	funopabex 2742	. 2 ⊢ {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ∪{z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)})} ∈ V
19	13, 14, 18	fvopab4 2871	1 ⊢ (H ∈ Cℋ → (Proj ‘H) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ∪{z ∈ H∣∃w ∈ (⊥ ‘H)x = (z +v w)})})

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wel 803  ∃*wmo 1008  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  {crab 1204  ∪cuni 1919  {copab 2055   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  pjvalt 5246  pjfn 5586

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-pj 5244

metamath.org