Theorem pjnel 5665

Description: If a vector does not belong to subspace, the norm of its projection is less than its norm.

Hypotheses

Ref	Expression
pjnorm.1	⊢ H ∈ Cℋ
pjnorm.2	⊢ A ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjnel	⊢ (¬ A ∈ H ↔ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) < (norm ‘A))

Proof of Theorem pjnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjnorm.1	. . . 4 ⊢ H ∈ Cℋ
2		pjnorm.2	. . . 4 ⊢ A ∈ ℋ
3	1, 2	pjnorm 5663	. . 3 ⊢ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) ≤ (norm ‘A)
4	3	biantrur 544	. 2 ⊢ (¬ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) = (norm ‘A) ↔ ((norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) ≤ (norm ‘A) ∧ ¬ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) = (norm ‘A)))
5	1, 2	pjoc1 5268	. . . 4 ⊢ (A ∈ H ↔ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) = 0v)
6	1, 2	pjhcli 5258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Proj ‘H) ‘A) ∈ ℋ
7	6	normcl 5081	. . . . . . . 8 ⊢ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) ∈ ℝ
8	7	sqrecl 4699	. . . . . . 7 ⊢ ((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) ∈ ℝ
9	8	recn 4098	. . . . . 6 ⊢ ((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) ∈ ℂ
10		0cn 4100	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
11	10	sqcl 4686	. . . . . 6 ⊢ (0↑2) ∈ ℂ
12	1	chocl 5192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥ ‘H) ∈ Cℋ
13	12, 2	pjhcli 5258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ ℋ
14	13	normcl 5081	. . . . . . . 8 ⊢ (norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∈ ℝ
15	14	sqrecl 4699	. . . . . . 7 ⊢ ((norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))↑2) ∈ ℝ
16	15	recn 4098	. . . . . 6 ⊢ ((norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))↑2) ∈ ℂ
17	9, 11, 16	addcan 4120	. . . . 5 ⊢ ((((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + (0↑2)) = (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))↑2)) ↔ (0↑2) = ((norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))↑2))
18		cleqid 1102	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = 0
19	10	sqe0 4687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0↑2) = 0 ↔ 0 = 0)
20	18, 19	mpbir 165	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑2) = 0
21	20	opreq2i 3010	. . . . . . 7 ⊢ (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + (0↑2)) = (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + 0)
22	9	addid1 4112	. . . . . . 7 ⊢ (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + 0) = ((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2)
23	21, 22	eqtr2 1120	. . . . . 6 ⊢ ((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + (0↑2))
24	1, 2	pjpyth 5664	. . . . . 6 ⊢ ((norm ‘A)↑2) = (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))↑2))
25	23, 24	cleq12i 1114	. . . . 5 ⊢ (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) = ((norm ‘A)↑2) ↔ (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + (0↑2)) = (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))↑2)))
26	13	norm-i 5083	. . . . . . 7 ⊢ ((norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) = 0 ↔ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) = 0v)
27		cleqcom 1103	. . . . . . 7 ⊢ ((norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) = 0 ↔ 0 = (norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)))
28	26, 27	bitr3 153	. . . . . 6 ⊢ (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) = 0v ↔ 0 = (norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)))
29		ax0re 4063	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	29	leid 4339	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
31		normge0t 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)))
32	13, 31	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))
33	29, 14	sqe11 4702	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))) → ((0↑2) = ((norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))↑2) ↔ 0 = (norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))))
34	30, 32, 33	mp2an 520	. . . . . 6 ⊢ ((0↑2) = ((norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))↑2) ↔ 0 = (norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)))
35	28, 34	bitr4 154	. . . . 5 ⊢ (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) = 0v ↔ (0↑2) = ((norm ‘((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))↑2))
36	17, 25, 35	3bitr4r 159	. . . 4 ⊢ (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) = 0v ↔ ((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) = ((norm ‘A)↑2))
37		normge0t 5077	. . . . . 6 ⊢ (((Proj ‘H) ‘A) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)))
38	6, 37	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A))
39		normge0t 5077	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘A))
40	2, 39	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (norm ‘A)
41	2	normcl 5081	. . . . . 6 ⊢ (norm ‘A) ∈ ℝ
42	7, 41	sqe11 4702	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) ∧ 0 ≤ (norm ‘A)) → (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) = ((norm ‘A)↑2) ↔ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) = (norm ‘A)))
43	38, 40, 42	mp2an 520	. . . 4 ⊢ (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) = ((norm ‘A)↑2) ↔ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) = (norm ‘A))
44	5, 36, 43	3bitr 155	. . 3 ⊢ (A ∈ H ↔ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) = (norm ‘A))
45	44	negbii 162	. 2 ⊢ (¬ A ∈ H ↔ ¬ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) = (norm ‘A))
46	7, 41	ltlen 4299	. 2 ⊢ ((norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) < (norm ‘A) ↔ ((norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) ≤ (norm ‘A) ∧ ¬ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) = (norm ‘A)))
47	4, 45, 46	3bitr4 158	1 ⊢ (¬ A ∈ H ↔ (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) < (norm ‘A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028   + caddc 4031   < clt 4033   ≤ cle 4092  2c2 4454  ↑cexp 4675   ℋ chil 4958  0_vc0v 4961  normcno 4964   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  pjnelt 5667

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244

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