Theorem pjnormss 5638

Description: Theorem 4.5(i)<->(vi) of [Beran] p. 112.

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ G ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ H ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjnormss	⊢ (G ⊆ H ↔ ∀x ∈ ℋ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x)))

Distinct variable group(s):   x,H   x,G

Proof of Theorem pjnormss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.2	. . . . . . 7 ⊢ H ∈ Cℋ
2		pjco.1	. . . . . . 7 ⊢ G ∈ Cℋ
3	1, 2	pjssmt 5635	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℋ → (G ⊆ H → (((Proj ‘H) ‘x) −v ((Proj ‘G) ‘x)) = ((Proj ‘(H ∩ (⊥ ‘G))) ‘x)))
4	1, 2	pjssge0t 5636	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℋ → ((((Proj ‘H) ‘x) −v ((Proj ‘G) ‘x)) = ((Proj ‘(H ∩ (⊥ ‘G))) ‘x) → 0 ≤ ((((Proj ‘H) ‘x) −v ((Proj ‘G) ‘x)) ·i x)))
5	3, 4	syld 27	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℋ → (G ⊆ H → 0 ≤ ((((Proj ‘H) ‘x) −v ((Proj ‘G) ‘x)) ·i x)))
6	1, 2	pjdifnormt 5637	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℋ → (0 ≤ ((((Proj ‘H) ‘x) −v ((Proj ‘G) ‘x)) ·i x) ↔ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x))))
7	5, 6	sylibd 177	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℋ → (G ⊆ H → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x))))
8	7	com12 13	. . 3 ⊢ (G ⊆ H → (x ∈ ℋ → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x))))
9	8	r19.21aiv 1259	. 2 ⊢ (G ⊆ H → ∀x ∈ ℋ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x)))
10	2	pjhcl 5256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x ∈ ℋ → ((Proj ‘G) ‘x) ∈ ℋ )
11		normclt 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((Proj ‘G) ‘x) ∈ ℋ → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (x ∈ ℋ → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ∈ ℝ)
13		ax0re 4063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
14	12, 13	jctir 241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ∈ ℋ → ((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
15		letri3t 4283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) = 0 ↔ ((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)))))
16	15	biimprd 136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x))) → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) = 0))
17	14, 16	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ ℋ → (((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x))) → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) = 0))
18		normge0t 5077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((Proj ‘G) ‘x) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)))
19	10, 18	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)))
20	17, 19	sylan2i 357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℋ → (((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ 0 ∧ x ∈ ℋ ) → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) = 0))
21	20	anabsi6 378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ 0) → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) = 0)
22		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) = 0 → ((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) ↔ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ 0))
23	22	biimpac 326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) ∧ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) = 0) → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ 0)
24	21, 23	sylan2 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ ((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) ∧ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) = 0)) → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) = 0)
25	24	exp32 294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ ℋ → ((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) → ((norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) = 0 → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) = 0)))
26	25	imp 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x))) → ((norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) = 0 → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) = 0))
27	1	pjhcl 5256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ℋ → ((Proj ‘H) ‘x) ∈ ℋ )
28		norm-it 5080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Proj ‘H) ‘x) ∈ ℋ → ((norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) = 0 ↔ ((Proj ‘H) ‘x) = 0v))
29	27, 28	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℋ → ((norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) = 0 ↔ ((Proj ‘H) ‘x) = 0v))
30	1	pjoc2t 5274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℋ → (x ∈ (⊥ ‘H) ↔ ((Proj ‘H) ‘x) = 0v))
31	29, 30	bitr4d 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ ℋ → ((norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) = 0 ↔ x ∈ (⊥ ‘H)))
32	31	adantr 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x))) → ((norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) = 0 ↔ x ∈ (⊥ ‘H)))
33		norm-it 5080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Proj ‘G) ‘x) ∈ ℋ → ((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) = 0 ↔ ((Proj ‘G) ‘x) = 0v))
34	10, 33	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℋ → ((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) = 0 ↔ ((Proj ‘G) ‘x) = 0v))
35	2	pjoc2t 5274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℋ → (x ∈ (⊥ ‘G) ↔ ((Proj ‘G) ‘x) = 0v))
36	34, 35	bitr4d 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ ℋ → ((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) = 0 ↔ x ∈ (⊥ ‘G)))
37	36	adantr 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x))) → ((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) = 0 ↔ x ∈ (⊥ ‘G)))
38	26, 32, 37	3imtr3d 420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x))) → (x ∈ (⊥ ‘H) → x ∈ (⊥ ‘G)))
39	38	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℋ → ((norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) → (x ∈ (⊥ ‘H) → x ∈ (⊥ ‘G))))
40	39	a2i 8	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℋ → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x))) → (x ∈ ℋ → (x ∈ (⊥ ‘H) → x ∈ (⊥ ‘G))))
41	1	chocl 5192	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥ ‘H) ∈ Cℋ
42	41	chel 5137	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ (⊥ ‘H) → x ∈ ℋ )
43	40, 42	syl5 22	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℋ → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x))) → (x ∈ (⊥ ‘H) → (x ∈ (⊥ ‘H) → x ∈ (⊥ ‘G))))
44	43	pm2.43d 59	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℋ → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x))) → (x ∈ (⊥ ‘H) → x ∈ (⊥ ‘G)))
45	44	19.20i 691	. . . 4 ⊢ (∀x(x ∈ ℋ → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x))) → ∀x(x ∈ (⊥ ‘H) → x ∈ (⊥ ‘G)))
46		df-ral 1205	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ ℋ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) ↔ ∀x(x ∈ ℋ → (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x))))
47		dfss2 1497	. . . 4 ⊢ ((⊥ ‘H) ⊆ (⊥ ‘G) ↔ ∀x(x ∈ (⊥ ‘H) → x ∈ (⊥ ‘G)))
48	45, 46, 47	3imtr4 192	. . 3 ⊢ (∀x ∈ ℋ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) → (⊥ ‘H) ⊆ (⊥ ‘G))
49	2, 1	chsscon3 5383	. . 3 ⊢ (G ⊆ H ↔ (⊥ ‘H) ⊆ (⊥ ‘G))
50	48, 49	sylibr 175	. 2 ⊢ (∀x ∈ ℋ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x)) → G ⊆ H)
51	9, 50	impbi 139	1 ⊢ (G ⊆ H ↔ ∀x ∈ ℋ (norm ‘((Proj ‘G) ‘x)) ≤ (norm ‘((Proj ‘H) ‘x)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028   ≤ cle 4092   ℋ chil 4958  0_vc0v 4961   −_v cmv 4962   ·_i csp 4963  normcno 4964   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969  Projcpj 4976

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244

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