Theorem pjoml 5271

Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. Derived using projections; compare omls 5251.

Hypotheses

Ref	Expression
pjoml.1	⊢ A ∈ Cℋ
pjoml.2	⊢ B ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
pjoml	⊢ ((A ⊆ B ∧ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ) → A = B)

Proof of Theorem pjoml

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 256	. 2 ⊢ ((A ⊆ B ∧ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ) → A ⊆ B)
2		eleq2 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ → (((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ (B ∩ (⊥ ‘A)) ↔ ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ 0ℋ))
3		pjoml.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ B ∈ Sℋ
4		shsubclt 5125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (B ∈ Sℋ → ((x ∈ B ∧ ((Proj ‘A) ‘x) ∈ B) → (x −v ((Proj ‘A) ‘x)) ∈ B))
5	3, 4	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ B ∧ ((Proj ‘A) ‘x) ∈ B) → (x −v ((Proj ‘A) ‘x)) ∈ B)
6		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ⊆ B ∧ x ∈ B) → x ∈ B)
7		ssel2 1503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ⊆ B ∧ ((Proj ‘A) ‘x) ∈ A) → ((Proj ‘A) ‘x) ∈ B)
8	3	shel 5120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ∈ B → x ∈ ℋ )
9		pjoml.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ A ∈ Cℋ
10	9	pjcl 5255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ∈ ℋ → ((Proj ‘A) ‘x) ∈ A)
11	8, 10	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ B → ((Proj ‘A) ‘x) ∈ A)
12	7, 11	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ⊆ B ∧ x ∈ B) → ((Proj ‘A) ‘x) ∈ B)
13	5, 6, 12	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ⊆ B ∧ x ∈ B) → (x −v ((Proj ‘A) ‘x)) ∈ B)
14		pjopt 5264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ x ∈ ℋ ) → ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) = (x −v ((Proj ‘A) ‘x)))
15	9, 14	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ∈ ℋ → ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) = (x −v ((Proj ‘A) ‘x)))
16	8, 15	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ B → ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) = (x −v ((Proj ‘A) ‘x)))
17	16	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ B → (((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ B ↔ (x −v ((Proj ‘A) ‘x)) ∈ B))
18	17	adantl 305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ⊆ B ∧ x ∈ B) → (((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ B ↔ (x −v ((Proj ‘A) ‘x)) ∈ B))
19	13, 18	mpbird 171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ⊆ B ∧ x ∈ B) → ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ B)
20	9	chocl 5192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊥ ‘A) ∈ Cℋ
21	20	pjcl 5255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℋ → ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ (⊥ ‘A))
22	8, 21	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ B → ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ (⊥ ‘A))
23	22	adantl 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ⊆ B ∧ x ∈ B) → ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ (⊥ ‘A))
24	19, 23	jca 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ⊆ B ∧ x ∈ B) → (((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ B ∧ ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ (⊥ ‘A)))
25		elin 1635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ (B ∩ (⊥ ‘A)) ↔ (((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ B ∧ ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ (⊥ ‘A)))
26	24, 25	sylibr 175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ⊆ B ∧ x ∈ B) → ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ (B ∩ (⊥ ‘A)))
27	2, 26	syl5bi 183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ → ((A ⊆ B ∧ x ∈ B) → ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ 0ℋ))
28	27	exp3a 292	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ → (A ⊆ B → (x ∈ B → ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ 0ℋ)))
29	28	com12 13	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ B → ((B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ → (x ∈ B → ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ 0ℋ)))
30	29	imp31 280	. . . . . 6 ⊢ (((A ⊆ B ∧ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ) ∧ x ∈ B) → ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ 0ℋ)
31		elch0 5158	. . . . . 6 ⊢ (((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) ∈ 0ℋ ↔ ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) = 0v)
32	30, 31	sylib 173	. . . . 5 ⊢ (((A ⊆ B ∧ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ) ∧ x ∈ B) → ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) = 0v)
33	8	adantl 305	. . . . . 6 ⊢ (((A ⊆ B ∧ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ) ∧ x ∈ B) → x ∈ ℋ )
34		pjoc1t 5270	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ x ∈ ℋ ) → (x ∈ A ↔ ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) = 0v))
35	9, 34	mpan 518	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℋ → (x ∈ A ↔ ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) = 0v))
36	33, 35	syl 12	. . . . 5 ⊢ (((A ⊆ B ∧ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ) ∧ x ∈ B) → (x ∈ A ↔ ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘x) = 0v))
37	32, 36	mpbird 171	. . . 4 ⊢ (((A ⊆ B ∧ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ) ∧ x ∈ B) → x ∈ A)
38	37	exp 291	. . 3 ⊢ ((A ⊆ B ∧ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ) → (x ∈ B → x ∈ A))
39	38	ssrdv 1509	. 2 ⊢ ((A ⊆ B ∧ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ) → B ⊆ A)
40	1, 39	eqssd 1518	1 ⊢ ((A ⊆ B ∧ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ) → A = B)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958  0_vc0v 4961   −_v cmv 4962   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969  0_ℋc0h 4974  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  pjococ 5272  pjoml2 5495

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244

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