Theorem pjopytht 5662

Description: Pythagorean theorem for projections on orthogonal subspaces.

Assertion

Ref	Expression
pjopytht	⊢ ((H ∈ Cℋ ∧ G ∈ Cℋ ∧ A ∈ ℋ ) → (H ⊆ (⊥ ‘G) → ((norm ‘(((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘G) ‘A))↑2))))

Proof of Theorem pjopytht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 1521	. . 3 ⊢ (H = if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) → (H ⊆ (⊥ ‘G) ↔ if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) ⊆ (⊥ ‘G)))
2		fveq2 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (H = if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) → (Proj ‘H) = (Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )))
3	2	fveq1d 2834	. . . . . . 7 ⊢ (H = if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) → ((Proj ‘H) ‘A) = ((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))
4	3	opreq1d 3012	. . . . . 6 ⊢ (H = if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) → (((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)) = (((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)))
5	4	fveq2d 2836	. . . . 5 ⊢ (H = if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) → (norm ‘(((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A))) = (norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A))))
6	5	opreq1d 3012	. . . 4 ⊢ (H = if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) → ((norm ‘(((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)))↑2) = ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)))↑2))
7	3	fveq2d 2836	. . . . . 6 ⊢ (H = if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) → (norm ‘((Proj ‘H) ‘A)) = (norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A)))
8	7	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (H = if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) → ((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) = ((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2))
9	8	opreq1d 3012	. . . 4 ⊢ (H = if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) → (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘G) ‘A))↑2)) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘G) ‘A))↑2)))
10	6, 9	cleq12d 1115	. . 3 ⊢ (H = if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) → (((norm ‘(((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘G) ‘A))↑2)) ↔ ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘G) ‘A))↑2))))
11	1, 10	imbi12d 474	. 2 ⊢ (H = if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) → ((H ⊆ (⊥ ‘G) → ((norm ‘(((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘G) ‘A))↑2))) ↔ (if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) ⊆ (⊥ ‘G) → ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘G) ‘A))↑2)))))
12		fveq2 2832	. . . 4 ⊢ (G = if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ) → (⊥ ‘G) = (⊥ ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )))
13	12	sseq2d 1528	. . 3 ⊢ (G = if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ) → (if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) ⊆ (⊥ ‘G) ↔ if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) ⊆ (⊥ ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ))))
14		fveq2 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (G = if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ) → (Proj ‘G) = (Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )))
15	14	fveq1d 2834	. . . . . . 7 ⊢ (G = if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ) → ((Proj ‘G) ‘A) = ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A))
16	15	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ (G = if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ) → (((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)) = (((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A)))
17	16	fveq2d 2836	. . . . 5 ⊢ (G = if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ) → (norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A))) = (norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A))))
18	17	opreq1d 3012	. . . 4 ⊢ (G = if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ) → ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)))↑2) = ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A)))↑2))
19	15	fveq2d 2836	. . . . . 6 ⊢ (G = if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ) → (norm ‘((Proj ‘G) ‘A)) = (norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A)))
20	19	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (G = if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ) → ((norm ‘((Proj ‘G) ‘A))↑2) = ((norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A))↑2))
21	20	opreq2d 3013	. . . 4 ⊢ (G = if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ) → (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘G) ‘A))↑2)) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A))↑2)))
22	18, 21	cleq12d 1115	. . 3 ⊢ (G = if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ) → (((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘G) ‘A))↑2)) ↔ ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A))↑2))))
23	13, 22	imbi12d 474	. 2 ⊢ (G = if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ) → ((if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) ⊆ (⊥ ‘G) → ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘G) ‘A))↑2))) ↔ (if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) ⊆ (⊥ ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) → ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A))↑2)))))
24		fveq2 2832	. . . . . . 7 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) = ((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))
25		fveq2 2832	. . . . . . 7 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A) = ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))
26	24, 25	opreq12d 3014	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A)) = (((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))))
27	26	fveq2d 2836	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A))) = (norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))))
28	27	opreq1d 3012	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A)))↑2) = ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))))↑2))
29	24	fveq2d 2836	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A)) = (norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))))
30	29	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2) = ((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))↑2))
31	25	fveq2d 2836	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A)) = (norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))))
32	31	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A))↑2) = ((norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))↑2))
33	30, 32	opreq12d 3014	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A))↑2)) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))↑2)))
34	28, 33	cleq12d 1115	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A))↑2)) ↔ ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))↑2))))
35	34	imbi2d 464	. 2 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) ⊆ (⊥ ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) → ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘A))↑2))) ↔ (if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) ⊆ (⊥ ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) → ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))↑2)))))
36		helch 5151	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
37	36	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) ∈ Cℋ
38	36	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(G ∈ Cℋ , G, ℋ ) ∈ Cℋ
39		ax-hvzercl 4987	. . . 4 ⊢ 0v ∈ ℋ
40	39	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ ℋ
41	37, 38, 40	pjopyth 5593	. 2 ⊢ (if(H ∈ Cℋ , H, ℋ ) ⊆ (⊥ ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) → ((norm ‘(((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)) +v ((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘if(H ∈ Cℋ , H, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘if(G ∈ Cℋ , G, ℋ )) ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))↑2)))
42	11, 23, 35, 41	dedth3h 1788	1 ⊢ ((H ∈ Cℋ ∧ G ∈ Cℋ ∧ A ∈ ℋ ) → (H ⊆ (⊥ ‘G) → ((norm ‘(((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘G) ‘A)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘H) ‘A))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘G) ‘A))↑2))))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ifcif 1776   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   + caddc 4031  2c2 4454  ↑cexp 4675   ℋ chil 4958   +_v cva 4959  0_vc0v 4961  normcno 4964   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  strlem3a 5693

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244

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