Theorem pjpj0 5259

Description: Decomposition of a vector into projections.

Hypotheses

Ref	Expression
pjcli.1	⊢ H ∈ Cℋ
pjcli.2	⊢ A ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjpj0	⊢ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))

Proof of Theorem pjpj0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjcli.1	. . . . . . . . 9 ⊢ H ∈ Cℋ
2	1	chocl 5192	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥ ‘H) ∈ Cℋ
3		pjcli.2	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℋ
4		pjvalt 5246	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊥ ‘H) ∈ Cℋ ∧ A ∈ ℋ ) → ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) = ∪{y ∈ (⊥ ‘H)∣∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (y +v x)})
5	2, 3, 4	mp2an 520	. . . . . . 7 ⊢ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) = ∪{y ∈ (⊥ ‘H)∣∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (y +v x)}
6	5	cleqcomi 1105	. . . . . 6 ⊢ ∪{y ∈ (⊥ ‘H)∣∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (y +v x)} = ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)
7	2, 3	pjcli 5257	. . . . . . 7 ⊢ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ (⊥ ‘H)
8	2	pjthu 5241	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℋ → ∃!y ∈ (⊥ ‘H)∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (y +v x))
9	3, 8	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ ∃!y ∈ (⊥ ‘H)∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (y +v x)
10		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) → (y +v x) = (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) +v x))
11	10	cleq2d 1112	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) → (A = (y +v x) ↔ A = (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) +v x)))
12	11	birexdv 1220	. . . . . . . 8 ⊢ (y = ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) → (∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (y +v x) ↔ ∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) +v x)))
13	12	reuuni2 1956	. . . . . . 7 ⊢ ((((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ (⊥ ‘H) ∧ ∃!y ∈ (⊥ ‘H)∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (y +v x)) → (∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) +v x) ↔ ∪{y ∈ (⊥ ‘H)∣∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (y +v x)} = ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)))
14	7, 9, 13	mp2an 520	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) +v x) ↔ ∪{y ∈ (⊥ ‘H)∣∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (y +v x)} = ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))
15	6, 14	mpbir 165	. . . . 5 ⊢ ∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) +v x)
16	1	ococ 5252	. . . . . . 7 ⊢ (⊥ ‘(⊥ ‘H)) = H
17		rexeq 1325	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥ ‘(⊥ ‘H)) = H → (∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ↔ ∃x ∈ H A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))))
18	16, 17	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ↔ ∃x ∈ H A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)))
19	2	chocl 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥ ‘(⊥ ‘H)) ∈ Cℋ
20	19	chel 5137	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H)) → x ∈ ℋ )
21	2, 3	pjhcli 5258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ ℋ
22		ax-hvcom 4985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ ℋ ) → (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) = (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) +v x))
23	21, 22	mpan2 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℋ → (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) = (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) +v x))
24	23	cleq2d 1112	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℋ → (A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ↔ A = (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) +v x)))
25	20, 24	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H)) → (A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ↔ A = (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) +v x)))
26	25	birexa 1229	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ↔ ∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) +v x))
27	18, 26	bitr3 153	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ H A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ↔ ∃x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘H))A = (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) +v x))
28	15, 27	mpbir 165	. . . 4 ⊢ ∃x ∈ H A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))
29		pjvalt 5246	. . . . . . 7 ⊢ ((H ∈ Cℋ ∧ A ∈ ℋ ) → ((Proj ‘H) ‘A) = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)})
30	1, 3, 29	mp2an 520	. . . . . 6 ⊢ ((Proj ‘H) ‘A) = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)}
31	30	cleqcomi 1105	. . . . 5 ⊢ ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)} = ((Proj ‘H) ‘A)
32	1, 3	pjcli 5257	. . . . . 6 ⊢ ((Proj ‘H) ‘A) ∈ H
33	1	pjthu 5241	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℋ → ∃!x ∈ H ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y))
34	3, 33	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ ∃!x ∈ H ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)
35		opreq1 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ((Proj ‘H) ‘A) → (x +v y) = (((Proj ‘H) ‘A) +v y))
36	35	cleq2d 1112	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ((Proj ‘H) ‘A) → (A = (x +v y) ↔ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y)))
37	36	birexdv 1220	. . . . . . 7 ⊢ (x = ((Proj ‘H) ‘A) → (∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y) ↔ ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y)))
38	37	reuuni2 1956	. . . . . 6 ⊢ ((((Proj ‘H) ‘A) ∈ H ∧ ∃!x ∈ H ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)) → (∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y) ↔ ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)} = ((Proj ‘H) ‘A)))
39	32, 34, 38	mp2an 520	. . . . 5 ⊢ (∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y) ↔ ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)} = ((Proj ‘H) ‘A))
40	31, 39	mpbir 165	. . . 4 ⊢ ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y)
41	28, 40	pm3.2i 234	. . 3 ⊢ (∃x ∈ H A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y))
42		r2ex 1241	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ H ∃y ∈ (⊥ ‘H)(A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y)) ↔ ∃x∃y((x ∈ H ∧ y ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y))))
43		reeanv 1316	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ H ∃y ∈ (⊥ ‘H)(A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y)) ↔ (∃x ∈ H A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y)))
44	42, 43	bitr3 153	. . 3 ⊢ (∃x∃y((x ∈ H ∧ y ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y))) ↔ (∃x ∈ H A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y)))
45	41, 44	mpbir 165	. 2 ⊢ ∃x∃y((x ∈ H ∧ y ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y)))
46	1	chocuni 5179	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ H ∧ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (((Proj ‘H) ‘A) ∈ H ∧ y ∈ (⊥ ‘H))) → ((A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y)) → (x = ((Proj ‘H) ‘A) ∧ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) = y)))
47	7	jctr 239	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ H → (x ∈ H ∧ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ (⊥ ‘H)))
48	32	jctl 238	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ (⊥ ‘H) → (((Proj ‘H) ‘A) ∈ H ∧ y ∈ (⊥ ‘H)))
49	46, 47, 48	syl2an 349	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ H ∧ y ∈ (⊥ ‘H)) → ((A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y)) → (x = ((Proj ‘H) ‘A) ∧ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) = y)))
50	49	imp 277	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ H ∧ y ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y))) → (x = ((Proj ‘H) ‘A) ∧ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) = y))
51	50	pm3.26d 258	. . . 4 ⊢ (((x ∈ H ∧ y ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y))) → x = ((Proj ‘H) ‘A))
52		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ (x = ((Proj ‘H) ‘A) → (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) = (((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)))
53	52	cleq2d 1112	. . . . . 6 ⊢ (x = ((Proj ‘H) ‘A) → (A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ↔ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))))
54	53	biimpcd 137	. . . . 5 ⊢ (A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) → (x = ((Proj ‘H) ‘A) → A = (((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))))
55	54	ad2antrl 322	. . . 4 ⊢ (((x ∈ H ∧ y ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y))) → (x = ((Proj ‘H) ‘A) → A = (((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))))
56	51, 55	mpd 46	. . 3 ⊢ (((x ∈ H ∧ y ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y))) → A = (((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)))
57	56	19.23aivv 953	. 2 ⊢ (∃x∃y((x ∈ H ∧ y ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (A = (x +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)) ∧ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v y))) → A = (((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A)))
58	45, 57	ax-mp 6	1 ⊢ A = (((Proj ‘H) ‘A) +v ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203  {crab 1204  ∪cuni 1919   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  axpjpjt 5260

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244

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