Theorem pjss2co 5634

Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)<->(ii) of [Beran] p. 112.

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ G ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ H ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjss2co	⊢ (G ⊆ H ↔ ((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G))

Proof of Theorem pjss2co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.1	. . . . . . . 8 ⊢ G ∈ Cℋ
2		pjco.2	. . . . . . . 8 ⊢ H ∈ Cℋ
3	1, 2	pjco 5628	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℋ → (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) ‘x) = ((Proj ‘G) ‘((Proj ‘H) ‘x)))
4	3	adantl 305	. . . . . 6 ⊢ ((G ⊆ H ∧ x ∈ ℋ ) → (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) ‘x) = ((Proj ‘G) ‘((Proj ‘H) ‘x)))
5		fveq2 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = if(x ∈ ℋ , x, 0v) → ((Proj ‘H) ‘x) = ((Proj ‘H) ‘if(x ∈ ℋ , x, 0v)))
6	5	fveq2d 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = if(x ∈ ℋ , x, 0v) → ((Proj ‘G) ‘((Proj ‘H) ‘x)) = ((Proj ‘G) ‘((Proj ‘H) ‘if(x ∈ ℋ , x, 0v))))
7		fveq2 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = if(x ∈ ℋ , x, 0v) → ((Proj ‘G) ‘x) = ((Proj ‘G) ‘if(x ∈ ℋ , x, 0v)))
8	6, 7	cleq12d 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = if(x ∈ ℋ , x, 0v) → (((Proj ‘G) ‘((Proj ‘H) ‘x)) = ((Proj ‘G) ‘x) ↔ ((Proj ‘G) ‘((Proj ‘H) ‘if(x ∈ ℋ , x, 0v))) = ((Proj ‘G) ‘if(x ∈ ℋ , x, 0v))))
9	8	imbi2d 464	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = if(x ∈ ℋ , x, 0v) → ((G ⊆ H → ((Proj ‘G) ‘((Proj ‘H) ‘x)) = ((Proj ‘G) ‘x)) ↔ (G ⊆ H → ((Proj ‘G) ‘((Proj ‘H) ‘if(x ∈ ℋ , x, 0v))) = ((Proj ‘G) ‘if(x ∈ ℋ , x, 0v)))))
10		ax-hvzercl 4987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0v ∈ ℋ
11	10	elimel 1793	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(x ∈ ℋ , x, 0v) ∈ ℋ
12	1, 11, 2	pjss2 5571	. . . . . . . . 9 ⊢ (G ⊆ H → ((Proj ‘G) ‘((Proj ‘H) ‘if(x ∈ ℋ , x, 0v))) = ((Proj ‘G) ‘if(x ∈ ℋ , x, 0v)))
13	9, 12	dedth 1784	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℋ → (G ⊆ H → ((Proj ‘G) ‘((Proj ‘H) ‘x)) = ((Proj ‘G) ‘x)))
14	13	com12 13	. . . . . . 7 ⊢ (G ⊆ H → (x ∈ ℋ → ((Proj ‘G) ‘((Proj ‘H) ‘x)) = ((Proj ‘G) ‘x)))
15	14	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((G ⊆ H ∧ x ∈ ℋ ) → ((Proj ‘G) ‘((Proj ‘H) ‘x)) = ((Proj ‘G) ‘x))
16	4, 15	eqtrd 1128	. . . . 5 ⊢ ((G ⊆ H ∧ x ∈ ℋ ) → (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) ‘x) = ((Proj ‘G) ‘x))
17	16	exp 291	. . . 4 ⊢ (G ⊆ H → (x ∈ ℋ → (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) ‘x) = ((Proj ‘G) ‘x)))
18	17	r19.21aiv 1259	. . 3 ⊢ (G ⊆ H → ∀x ∈ ℋ (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) ‘x) = ((Proj ‘G) ‘x))
19	1	pjf 5588	. . . . 5 ⊢ (Proj ‘G): ℋ –→ ℋ
20	2	pjf 5588	. . . . 5 ⊢ (Proj ‘H): ℋ –→ ℋ
21	19, 20	hocof 5600	. . . 4 ⊢ ((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)): ℋ –→ ℋ
22	21, 19	hoeq 5595	. . 3 ⊢ (∀x ∈ ℋ (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) ‘x) = ((Proj ‘G) ‘x) ↔ ((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G))
23	18, 22	sylib 173	. 2 ⊢ (G ⊆ H → ((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G))
24		fveq1 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G) → (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) ‘y) = ((Proj ‘G) ‘y))
25	24	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G) → (x ·i (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) ‘y)) = (x ·i ((Proj ‘G) ‘y)))
26	25	ad2antlr 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ ((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G)) ∧ y ∈ ℋ ) → (x ·i (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) ‘y)) = (x ·i ((Proj ‘G) ‘y)))
27	2, 1	pjadjco 5631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) → ((((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) ·i y) = (x ·i (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) ‘y)))
28	27	adantlr 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ ((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G)) ∧ y ∈ ℋ ) → ((((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) ·i y) = (x ·i (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) ‘y)))
29	1	pjadjt 5576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) → (((Proj ‘G) ‘x) ·i y) = (x ·i ((Proj ‘G) ‘y)))
30	29	adantlr 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ ((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G)) ∧ y ∈ ℋ ) → (((Proj ‘G) ‘x) ·i y) = (x ·i ((Proj ‘G) ‘y)))
31	26, 28, 30	3eqtr4d 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ ((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G)) ∧ y ∈ ℋ ) → ((((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) ·i y) = (((Proj ‘G) ‘x) ·i y))
32	31	exp31 293	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℋ → (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G) → (y ∈ ℋ → ((((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) ·i y) = (((Proj ‘G) ‘x) ·i y))))
33	32	r19.21adv 1262	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℋ → (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G) → ∀y ∈ ℋ ((((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) ·i y) = (((Proj ‘G) ‘x) ·i y)))
34		hial2eqt 5060	. . . . . . . 8 ⊢ (((((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) ∈ ℋ ∧ ((Proj ‘G) ‘x) ∈ ℋ ) → (∀y ∈ ℋ ((((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) ·i y) = (((Proj ‘G) ‘x) ·i y) ↔ (((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) = ((Proj ‘G) ‘x)))
35	2, 1	pjcohcl 5630	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℋ → (((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) ∈ ℋ )
36	1	pjhcl 5256	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℋ → ((Proj ‘G) ‘x) ∈ ℋ )
37	34, 35, 36	sylanc 361	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℋ → (∀y ∈ ℋ ((((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) ·i y) = (((Proj ‘G) ‘x) ·i y) ↔ (((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) = ((Proj ‘G) ‘x)))
38	33, 37	sylibd 177	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℋ → (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G) → (((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) = ((Proj ‘G) ‘x)))
39	38	com12 13	. . . . 5 ⊢ (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G) → (x ∈ ℋ → (((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) = ((Proj ‘G) ‘x)))
40	39	r19.21aiv 1259	. . . 4 ⊢ (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G) → ∀x ∈ ℋ (((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) = ((Proj ‘G) ‘x))
41	20, 19	hocof 5600	. . . . 5 ⊢ ((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)): ℋ –→ ℋ
42	41, 19	hoeq 5595	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ ℋ (((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) ‘x) = ((Proj ‘G) ‘x) ↔ ((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) = (Proj ‘G))
43	40, 42	sylib 173	. . 3 ⊢ (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G) → ((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) = (Proj ‘G))
44	1, 2	pjss1co 5633	. . 3 ⊢ (G ⊆ H ↔ ((Proj ‘H) ∘ (Proj ‘G)) = (Proj ‘G))
45	43, 44	sylibr 175	. 2 ⊢ (((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G) → G ⊆ H)
46	23, 45	impbi 139	1 ⊢ (G ⊆ H ↔ ((Proj ‘G) ∘ (Proj ‘H)) = (Proj ‘G))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487  ifcif 1776   ∘ ccom 2414   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958  0_vc0v 4961   ·_i csp 4963   C_ℋ cch 4968  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  pjidmco 5642  pjin2 5647  pjin3 5648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244

metamath.org