Theorem pjssm 5572

Description: Projection meet property. Remark of [Kalmbach] p. 66. Also Theorem 4.5(i)->(iv) of [Beran] p. 112.

Hypotheses

Ref	Expression
pjidm.1	⊢ H ∈ Cℋ
pjidm.2	⊢ A ∈ ℋ
pjsslem.1	⊢ G ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjssm	⊢ (H ⊆ G → (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) = ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘A))

Proof of Theorem pjssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidm.1	. . . . . . . 8 ⊢ H ∈ Cℋ
2		pjidm.2	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℋ
3	1, 2	pjcli 5257	. . . . . . 7 ⊢ ((Proj ‘H) ‘A) ∈ H
4		ssel 1502	. . . . . . 7 ⊢ (H ⊆ G → (((Proj ‘H) ‘A) ∈ H → ((Proj ‘H) ‘A) ∈ G))
5	3, 4	mpi 44	. . . . . 6 ⊢ (H ⊆ G → ((Proj ‘H) ‘A) ∈ G)
6		pjsslem.1	. . . . . . 7 ⊢ G ∈ Cℋ
7	6, 2	pjcli 5257	. . . . . 6 ⊢ ((Proj ‘G) ‘A) ∈ G
8	5, 7	jctil 240	. . . . 5 ⊢ (H ⊆ G → (((Proj ‘G) ‘A) ∈ G ∧ ((Proj ‘H) ‘A) ∈ G))
9	6	chshi 5132	. . . . . 6 ⊢ G ∈ Sℋ
10		shsubclt 5125	. . . . . 6 ⊢ (G ∈ Sℋ → ((((Proj ‘G) ‘A) ∈ G ∧ ((Proj ‘H) ‘A) ∈ G) → (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ G))
11	9, 10	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ ((((Proj ‘G) ‘A) ∈ G ∧ ((Proj ‘H) ‘A) ∈ G) → (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ G)
12	8, 11	syl 12	. . . 4 ⊢ (H ⊆ G → (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ G)
13	1, 6	chsscon3 5383	. . . . . 6 ⊢ (H ⊆ G ↔ (⊥ ‘G) ⊆ (⊥ ‘H))
14	6	chocl 5192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥ ‘G) ∈ Cℋ
15	14, 2	pjcli 5257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Proj ‘(⊥ ‘G)) ‘A) ∈ (⊥ ‘G)
16		ssel 1502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥ ‘G) ⊆ (⊥ ‘H) → (((Proj ‘(⊥ ‘G)) ‘A) ∈ (⊥ ‘G) → ((Proj ‘(⊥ ‘G)) ‘A) ∈ (⊥ ‘H)))
17	15, 16	mpi 44	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊥ ‘G) ⊆ (⊥ ‘H) → ((Proj ‘(⊥ ‘G)) ‘A) ∈ (⊥ ‘H))
18	1	chocl 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥ ‘H) ∈ Cℋ
19	18, 2	pjcli 5257	. . . . . . . 8 ⊢ ((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ (⊥ ‘H)
20	17, 19	jctil 240	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥ ‘G) ⊆ (⊥ ‘H) → (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ (⊥ ‘H) ∧ ((Proj ‘(⊥ ‘G)) ‘A) ∈ (⊥ ‘H)))
21	18	chshi 5132	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥ ‘H) ∈ Sℋ
22		shsubclt 5125	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊥ ‘H) ∈ Sℋ → ((((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ (⊥ ‘H) ∧ ((Proj ‘(⊥ ‘G)) ‘A) ∈ (⊥ ‘H)) → (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) −v ((Proj ‘(⊥ ‘G)) ‘A)) ∈ (⊥ ‘H)))
23	21, 22	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ ((((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) ∈ (⊥ ‘H) ∧ ((Proj ‘(⊥ ‘G)) ‘A) ∈ (⊥ ‘H)) → (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) −v ((Proj ‘(⊥ ‘G)) ‘A)) ∈ (⊥ ‘H))
24	20, 23	syl 12	. . . . . 6 ⊢ ((⊥ ‘G) ⊆ (⊥ ‘H) → (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) −v ((Proj ‘(⊥ ‘G)) ‘A)) ∈ (⊥ ‘H))
25	13, 24	sylbi 174	. . . . 5 ⊢ (H ⊆ G → (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) −v ((Proj ‘(⊥ ‘G)) ‘A)) ∈ (⊥ ‘H))
26	1, 2, 6	pjsslem 5570	. . . . . 6 ⊢ (((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) −v ((Proj ‘(⊥ ‘G)) ‘A)) = (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A))
27	26	eleq1i 1152	. . . . 5 ⊢ ((((Proj ‘(⊥ ‘H)) ‘A) −v ((Proj ‘(⊥ ‘G)) ‘A)) ∈ (⊥ ‘H) ↔ (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ (⊥ ‘H))
28	25, 27	sylib 173	. . . 4 ⊢ (H ⊆ G → (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ (⊥ ‘H))
29	12, 28	jca 236	. . 3 ⊢ (H ⊆ G → ((((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ G ∧ (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ (⊥ ‘H)))
30		elin 1635	. . . 4 ⊢ ((((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ (G ∩ (⊥ ‘H)) ↔ ((((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ G ∧ (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ (⊥ ‘H)))
31	6, 18	chincl 5382	. . . . 5 ⊢ (G ∩ (⊥ ‘H)) ∈ Cℋ
32	6, 2	pjhcli 5258	. . . . . 6 ⊢ ((Proj ‘G) ‘A) ∈ ℋ
33	1, 2	pjhcli 5258	. . . . . 6 ⊢ ((Proj ‘H) ‘A) ∈ ℋ
34	32, 33	hvsubcl 5002	. . . . 5 ⊢ (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ ℋ
35	31, 34	pjch 5269	. . . 4 ⊢ ((((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ (G ∩ (⊥ ‘H)) ↔ ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘(((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A))) = (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)))
36	30, 35	bitr3 153	. . 3 ⊢ (((((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ G ∧ (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) ∈ (⊥ ‘H)) ↔ ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘(((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A))) = (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)))
37	29, 36	sylib 173	. 2 ⊢ (H ⊆ G → ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘(((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A))) = (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)))
38	31, 32, 33	pjsub 5569	. . 3 ⊢ ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘(((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A))) = (((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘G) ‘A)) −v ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘H) ‘A)))
39	31, 32	pjhcli 5258	. . . 4 ⊢ ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘G) ‘A)) ∈ ℋ
40	31, 33	pjhcli 5258	. . . 4 ⊢ ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘H) ‘A)) ∈ ℋ
41	39, 40	hvsubval 5001	. . 3 ⊢ (((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘G) ‘A)) −v ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘H) ‘A))) = (((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘G) ‘A)) +v (-1 ·s ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘H) ‘A))))
42		inss1 1657	. . . . . 6 ⊢ (G ∩ (⊥ ‘H)) ⊆ G
43	31, 2, 6	pjss2 5571	. . . . . 6 ⊢ ((G ∩ (⊥ ‘H)) ⊆ G → ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘G) ‘A)) = ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘A))
44	42, 43	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘G) ‘A)) = ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘A)
45	1	chshi 5132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ H ∈ Sℋ
46		shococss 5175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (H ∈ Sℋ → H ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘H)))
47	45, 46	ax-mp 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ H ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘H))
48		inss2 1658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (G ∩ (⊥ ‘H)) ⊆ (⊥ ‘H)
49	31, 18	chsscon3 5383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((G ∩ (⊥ ‘H)) ⊆ (⊥ ‘H) ↔ (⊥ ‘(⊥ ‘H)) ⊆ (⊥ ‘(G ∩ (⊥ ‘H))))
50	48, 49	mpbi 164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥ ‘(⊥ ‘H)) ⊆ (⊥ ‘(G ∩ (⊥ ‘H)))
51	47, 50	sstri 1512	. . . . . . . . 9 ⊢ H ⊆ (⊥ ‘(G ∩ (⊥ ‘H)))
52	51, 3	sselii 1505	. . . . . . . 8 ⊢ ((Proj ‘H) ‘A) ∈ (⊥ ‘(G ∩ (⊥ ‘H)))
53	31, 33	pjoc2 5273	. . . . . . . 8 ⊢ (((Proj ‘H) ‘A) ∈ (⊥ ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ↔ ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘H) ‘A)) = 0v)
54	52, 53	mpbi 164	. . . . . . 7 ⊢ ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘H) ‘A)) = 0v
55	54	opreq2i 3010	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·s ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘H) ‘A))) = (-1 ·s 0v)
56		1cn 4101	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
57	56	negcl 4142	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
58		hvmul0t 5004	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1 ·s 0v) = 0v)
59	57, 58	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·s 0v) = 0v
60	55, 59	eqtr 1119	. . . . 5 ⊢ (-1 ·s ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘H) ‘A))) = 0v
61	44, 60	opreq12i 3011	. . . 4 ⊢ (((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘G) ‘A)) +v (-1 ·s ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘H) ‘A)))) = (((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘A) +v 0v)
62	31, 2	pjhcli 5258	. . . . 5 ⊢ ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘A) ∈ ℋ
63		ax-hvaddid 4988	. . . . 5 ⊢ (((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘A) ∈ ℋ → (((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘A) +v 0v) = ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘A))
64	62, 63	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ (((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘A) +v 0v) = ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘A)
65	61, 64	eqtr 1119	. . 3 ⊢ (((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘G) ‘A)) +v (-1 ·s ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘((Proj ‘H) ‘A)))) = ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘A)
66	38, 41, 65	3eqtr 1123	. 2 ⊢ ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘(((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A))) = ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘A)
67	37, 66	syl5reqr 1139	1 ⊢ (H ⊆ G → (((Proj ‘G) ‘A) −v ((Proj ‘H) ‘A)) = ((Proj ‘(G ∩ (⊥ ‘H))) ‘A))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  1c1 4029  -cneg 4090   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_s csm 4960  0_vc0v 4961   −_v cmv 4962   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  pjcj 5575  pjssmt 5635

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244

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