Theorem pjthlem14 5238

Description: Lemma for Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102.

Hypotheses

Ref	Expression
pjthlem14.1	⊢ A ∈ ℋ
pjthlem14.2	⊢ H ∈ Cℋ
pjthlem14.3	⊢ B ∈ H
pjthlem14.4	⊢ C = (A −v B)

Assertion

Ref	Expression
pjthlem14	⊢ (∀z ∈ H (norm ‘(B −v A)) ≤ (norm ‘(z −v A)) → ∃x ∈ H ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y))

Distinct variable group(s):   x,z,y,A   z,B,x,y   z,C,x,y   z,H,x,y

Proof of Theorem pjthlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = if(x ∈ H, x, 0v) → (C ·i x) = (C ·i if(x ∈ H, x, 0v)))
2	1	cleq1d 1109	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = if(x ∈ H, x, 0v) → ((C ·i x) = 0 ↔ (C ·i if(x ∈ H, x, 0v)) = 0))
3	2	imbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (x = if(x ∈ H, x, 0v) → ((∀z ∈ H (norm ‘(B −v A)) ≤ (norm ‘(z −v A)) → (C ·i x) = 0) ↔ (∀z ∈ H (norm ‘(B −v A)) ≤ (norm ‘(z −v A)) → (C ·i if(x ∈ H, x, 0v)) = 0)))
4		pjthlem14.1	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ ℋ
5		pjthlem14.2	. . . . . . . . 9 ⊢ H ∈ Cℋ
6		pjthlem14.3	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ H
7		ch0 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (H ∈ Cℋ → 0v ∈ H)
8	5, 7	ax-mp 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0v ∈ H
9	8	elimel 1793	. . . . . . . . 9 ⊢ if(x ∈ H, x, 0v) ∈ H
10		pjthlem14.4	. . . . . . . . 9 ⊢ C = (A −v B)
11	4, 5, 6, 9, 10	pjthlem13 5237	. . . . . . . 8 ⊢ (∀z ∈ H (norm ‘(B −v A)) ≤ (norm ‘(z −v A)) → (C ·i if(x ∈ H, x, 0v)) = 0)
12	3, 11	dedth 1784	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ H → (∀z ∈ H (norm ‘(B −v A)) ≤ (norm ‘(z −v A)) → (C ·i x) = 0))
13	12	com12 13	. . . . . 6 ⊢ (∀z ∈ H (norm ‘(B −v A)) ≤ (norm ‘(z −v A)) → (x ∈ H → (C ·i x) = 0))
14	13	r19.21aiv 1259	. . . . 5 ⊢ (∀z ∈ H (norm ‘(B −v A)) ≤ (norm ‘(z −v A)) → ∀x ∈ H (C ·i x) = 0)
15	5	chshi 5132	. . . . . . 7 ⊢ H ∈ Sℋ
16		shocelt 5163	. . . . . . 7 ⊢ (H ∈ Sℋ → (C ∈ (⊥ ‘H) ↔ (C ∈ ℋ ∧ ∀x ∈ H (C ·i x) = 0)))
17	15, 16	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ (C ∈ (⊥ ‘H) ↔ (C ∈ ℋ ∧ ∀x ∈ H (C ·i x) = 0))
18	5, 6	cheli 5138	. . . . . . . 8 ⊢ B ∈ ℋ
19	4, 18	hvsubcl 5002	. . . . . . 7 ⊢ (A −v B) ∈ ℋ
20	10, 19	eqeltr 1159	. . . . . 6 ⊢ C ∈ ℋ
21	17, 20	mpbiran 547	. . . . 5 ⊢ (C ∈ (⊥ ‘H) ↔ ∀x ∈ H (C ·i x) = 0)
22	14, 21	sylibr 175	. . . 4 ⊢ (∀z ∈ H (norm ‘(B −v A)) ≤ (norm ‘(z −v A)) → C ∈ (⊥ ‘H))
23	22, 6	jctil 240	. . 3 ⊢ (∀z ∈ H (norm ‘(B −v A)) ≤ (norm ‘(z −v A)) → (B ∈ H ∧ C ∈ (⊥ ‘H)))
24		1cn 4101	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24	negcl 4142	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
26	25, 18	hvmulcl 4990	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·s B) ∈ ℋ
27	4, 18, 26	hvadd12 5029	. . . . 5 ⊢ (A +v (B +v (-1 ·s B))) = (B +v (A +v (-1 ·s B)))
28	18	hvnegid 5009	. . . . . . 7 ⊢ (B +v (-1 ·s B)) = 0v
29	28	opreq2i 3010	. . . . . 6 ⊢ (A +v (B +v (-1 ·s B))) = (A +v 0v)
30		ax-hvaddid 4988	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℋ → (A +v 0v) = A)
31	4, 30	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ (A +v 0v) = A
32	29, 31	eqtr2 1120	. . . . 5 ⊢ A = (A +v (B +v (-1 ·s B)))
33	4, 18	hvsubval 5001	. . . . . 6 ⊢ (A −v B) = (A +v (-1 ·s B))
34	33	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ (B +v (A −v B)) = (B +v (A +v (-1 ·s B)))
35	27, 32, 34	3eqtr4 1126	. . . 4 ⊢ A = (B +v (A −v B))
36	10	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ (B +v C) = (B +v (A −v B))
37	35, 36	eqtr4 1122	. . 3 ⊢ A = (B +v C)
38	23, 37	jctir 241	. 2 ⊢ (∀z ∈ H (norm ‘(B −v A)) ≤ (norm ‘(z −v A)) → ((B ∈ H ∧ C ∈ (⊥ ‘H)) ∧ A = (B +v C)))
39		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (x = B → (x +v y) = (B +v y))
40	39	cleq2d 1112	. . 3 ⊢ (x = B → (A = (x +v y) ↔ A = (B +v y)))
41		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ (y = C → (B +v y) = (B +v C))
42	41	cleq2d 1112	. . 3 ⊢ (y = C → (A = (B +v y) ↔ A = (B +v C)))
43	40, 42	rcla42ev 1405	. 2 ⊢ (((B ∈ H ∧ C ∈ (⊥ ‘H)) ∧ A = (B +v C)) → ∃x ∈ H ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y))
44	38, 43	syl 12	1 ⊢ (∀z ∈ H (norm ‘(B −v A)) ≤ (norm ‘(z −v A)) → ∃x ∈ H ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  ifcif 1776   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028  1c1 4029  -cneg 4090   ≤ cle 4092   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_s csm 4960  0_vc0v 4961   −_v cmv 4962   ·_i csp 4963  normcno 4964   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969

This theorem is referenced by:  pjth 5239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156

metamath.org