Theorem pjthlem5 5229

Description: Lemma for Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102.

Hypotheses

Ref	Expression
pjthlem5.1	⊢ D ∈ ℋ
pjthlem5.2	⊢ C ∈ ℋ
pjthlem5.3	⊢ S ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
pjthlem5	⊢ ((norm ‘(C −v (S ·s D)))↑2) = ((((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(S · (D ·i C)))) + (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) − (S · (D ·i C))))

Proof of Theorem pjthlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjthlem5.2	. . . 4 ⊢ C ∈ ℋ
2		pjthlem5.3	. . . . 5 ⊢ S ∈ ℂ
3		pjthlem5.1	. . . . 5 ⊢ D ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcl 4990	. . . 4 ⊢ (S ·s D) ∈ ℋ
5	1, 4	hvsubcl 5002	. . 3 ⊢ (C −v (S ·s D)) ∈ ℋ
6	5	normsq 5082	. 2 ⊢ ((norm ‘(C −v (S ·s D)))↑2) = ((C −v (S ·s D)) ·i (C −v (S ·s D)))
7	2, 1, 3	normlem0 5062	. 2 ⊢ ((C −v (S ·s D)) ·i (C −v (S ·s D))) = (((C ·i C) + (-(∗ ‘S) · (C ·i D))) + ((-S · (D ·i C)) + ((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D))))
8	1	normcl 5081	. . . . . . 7 ⊢ (norm ‘C) ∈ ℝ
9	8	sqrecl 4699	. . . . . 6 ⊢ ((norm ‘C)↑2) ∈ ℝ
10	9	recn 4098	. . . . 5 ⊢ ((norm ‘C)↑2) ∈ ℂ
11	3, 1	hicl 5044	. . . . . . 7 ⊢ (D ·i C) ∈ ℂ
12	2, 11	mulcl 4105	. . . . . 6 ⊢ (S · (D ·i C)) ∈ ℂ
13	12	cjcl 4804	. . . . 5 ⊢ (∗ ‘(S · (D ·i C))) ∈ ℂ
14	10, 13	subneg 4148	. . . 4 ⊢ (((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(S · (D ·i C)))) = (((norm ‘C)↑2) + -(∗ ‘(S · (D ·i C))))
15	1	normsq 5082	. . . . 5 ⊢ ((norm ‘C)↑2) = (C ·i C)
16	2, 11	cjmul 4819	. . . . . . . 8 ⊢ (∗ ‘(S · (D ·i C))) = ((∗ ‘S) · (∗ ‘(D ·i C)))
17		ax-his1 5045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) → (C ·i D) = (∗ ‘(D ·i C)))
18	1, 3, 17	mp2an 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (C ·i D) = (∗ ‘(D ·i C))
19	18	opreq2i 3010	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗ ‘S) · (C ·i D)) = ((∗ ‘S) · (∗ ‘(D ·i C)))
20	16, 19	eqtr4 1122	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ‘(S · (D ·i C))) = ((∗ ‘S) · (C ·i D))
21	20	negeqi 4137	. . . . . 6 ⊢ -(∗ ‘(S · (D ·i C))) = -((∗ ‘S) · (C ·i D))
22	2	cjcl 4804	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ‘S) ∈ ℂ
23	1, 3	hicl 5044	. . . . . . 7 ⊢ (C ·i D) ∈ ℂ
24	22, 23	mulneg1 4190	. . . . . 6 ⊢ (-(∗ ‘S) · (C ·i D)) = -((∗ ‘S) · (C ·i D))
25	21, 24	eqtr4 1122	. . . . 5 ⊢ -(∗ ‘(S · (D ·i C))) = (-(∗ ‘S) · (C ·i D))
26	15, 25	opreq12i 3011	. . . 4 ⊢ (((norm ‘C)↑2) + -(∗ ‘(S · (D ·i C)))) = ((C ·i C) + (-(∗ ‘S) · (C ·i D)))
27	14, 26	eqtr2 1120	. . 3 ⊢ ((C ·i C) + (-(∗ ‘S) · (C ·i D))) = (((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(S · (D ·i C))))
28	12	negcl 4142	. . . . 5 ⊢ -(S · (D ·i C)) ∈ ℂ
29	2	cjmulrcl 4821	. . . . . . 7 ⊢ (S · (∗ ‘S)) ∈ ℝ
30	29	recn 4098	. . . . . 6 ⊢ (S · (∗ ‘S)) ∈ ℂ
31	3, 3	hicl 5044	. . . . . 6 ⊢ (D ·i D) ∈ ℂ
32	30, 31	mulcl 4105	. . . . 5 ⊢ ((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) ∈ ℂ
33	28, 32	addcom 4106	. . . 4 ⊢ (-(S · (D ·i C)) + ((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D))) = (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) + -(S · (D ·i C)))
34	2, 11	mulneg1 4190	. . . . 5 ⊢ (-S · (D ·i C)) = -(S · (D ·i C))
35	34	opreq1i 3009	. . . 4 ⊢ ((-S · (D ·i C)) + ((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D))) = (-(S · (D ·i C)) + ((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)))
36	32, 12	subneg 4148	. . . 4 ⊢ (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) − (S · (D ·i C))) = (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) + -(S · (D ·i C)))
37	33, 35, 36	3eqtr4 1126	. . 3 ⊢ ((-S · (D ·i C)) + ((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D))) = (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) − (S · (D ·i C)))
38	27, 37	opreq12i 3011	. 2 ⊢ (((C ·i C) + (-(∗ ‘S) · (C ·i D))) + ((-S · (D ·i C)) + ((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)))) = ((((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(S · (D ·i C)))) + (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) − (S · (D ·i C))))
39	6, 7, 38	3eqtr 1123	1 ⊢ ((norm ‘(C −v (S ·s D)))↑2) = ((((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(S · (D ·i C)))) + (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) − (S · (D ·i C))))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026   + caddc 4031   · cmulc 4032   − cmin 4089  -cneg 4090  2c2 4454  ↑cexp 4675  ∗ccj 4788   ℋ chil 4958   ·_s csm 4960   −_v cmv 4962   ·_i csp 4963  normcno 4964

This theorem is referenced by:  pjthlem8 5232

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulass 4992  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074

metamath.org