Theorem pjthlem8 5232

Description: Lemma for Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102.

Hypotheses

Ref	Expression
pjthlem6.1	⊢ D ∈ ℋ
pjthlem6.2	⊢ R = (1 / (D ·i D))
pjthlem6.3	⊢ C ∈ ℋ
pjthlem6.4	⊢ S = (R · (C ·i D))

Assertion

Ref	Expression
pjthlem8	⊢ (¬ D = 0v → ((norm ‘(C −v (S ·s D)))↑2) = (((norm ‘C)↑2) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))))

Proof of Theorem pjthlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjthlem6.1	. . . 4 ⊢ D ∈ ℋ
2		pjthlem6.2	. . . 4 ⊢ R = (1 / (D ·i D))
3		pjthlem6.3	. . . 4 ⊢ C ∈ ℋ
4		pjthlem6.4	. . . 4 ⊢ S = (R · (C ·i D))
5	1, 2, 3, 4	pjthlem4 5228	. . 3 ⊢ (¬ D = 0v → S ∈ ℂ)
6		opreq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → (S ·s D) = (if(S ∈ ℂ, S, 0) ·s D))
7	6	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → (C −v (S ·s D)) = (C −v (if(S ∈ ℂ, S, 0) ·s D)))
8	7	fveq2d 2836	. . . . . 6 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → (norm ‘(C −v (S ·s D))) = (norm ‘(C −v (if(S ∈ ℂ, S, 0) ·s D))))
9	8	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → ((norm ‘(C −v (S ·s D)))↑2) = ((norm ‘(C −v (if(S ∈ ℂ, S, 0) ·s D)))↑2))
10		opreq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → (S · (D ·i C)) = (if(S ∈ ℂ, S, 0) · (D ·i C)))
11	10	fveq2d 2836	. . . . . . 7 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → (∗ ‘(S · (D ·i C))) = (∗ ‘(if(S ∈ ℂ, S, 0) · (D ·i C))))
12	11	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → (((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(S · (D ·i C)))) = (((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(if(S ∈ ℂ, S, 0) · (D ·i C)))))
13		id 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → S = if(S ∈ ℂ, S, 0))
14		fveq2 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → (∗ ‘S) = (∗ ‘if(S ∈ ℂ, S, 0)))
15	13, 14	opreq12d 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → (S · (∗ ‘S)) = (if(S ∈ ℂ, S, 0) · (∗ ‘if(S ∈ ℂ, S, 0))))
16	15	opreq1d 3012	. . . . . . 7 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → ((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) = ((if(S ∈ ℂ, S, 0) · (∗ ‘if(S ∈ ℂ, S, 0))) · (D ·i D)))
17	16, 10	opreq12d 3014	. . . . . 6 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) − (S · (D ·i C))) = (((if(S ∈ ℂ, S, 0) · (∗ ‘if(S ∈ ℂ, S, 0))) · (D ·i D)) − (if(S ∈ ℂ, S, 0) · (D ·i C))))
18	12, 17	opreq12d 3014	. . . . 5 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → ((((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(S · (D ·i C)))) + (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) − (S · (D ·i C)))) = ((((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(if(S ∈ ℂ, S, 0) · (D ·i C)))) + (((if(S ∈ ℂ, S, 0) · (∗ ‘if(S ∈ ℂ, S, 0))) · (D ·i D)) − (if(S ∈ ℂ, S, 0) · (D ·i C)))))
19	9, 18	cleq12d 1115	. . . 4 ⊢ (S = if(S ∈ ℂ, S, 0) → (((norm ‘(C −v (S ·s D)))↑2) = ((((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(S · (D ·i C)))) + (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) − (S · (D ·i C)))) ↔ ((norm ‘(C −v (if(S ∈ ℂ, S, 0) ·s D)))↑2) = ((((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(if(S ∈ ℂ, S, 0) · (D ·i C)))) + (((if(S ∈ ℂ, S, 0) · (∗ ‘if(S ∈ ℂ, S, 0))) · (D ·i D)) − (if(S ∈ ℂ, S, 0) · (D ·i C))))))
20		0cn 4100	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
21	20	elimel 1793	. . . . 5 ⊢ if(S ∈ ℂ, S, 0) ∈ ℂ
22	1, 3, 21	pjthlem5 5229	. . . 4 ⊢ ((norm ‘(C −v (if(S ∈ ℂ, S, 0) ·s D)))↑2) = ((((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(if(S ∈ ℂ, S, 0) · (D ·i C)))) + (((if(S ∈ ℂ, S, 0) · (∗ ‘if(S ∈ ℂ, S, 0))) · (D ·i D)) − (if(S ∈ ℂ, S, 0) · (D ·i C))))
23	19, 22	dedth 1784	. . 3 ⊢ (S ∈ ℂ → ((norm ‘(C −v (S ·s D)))↑2) = ((((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(S · (D ·i C)))) + (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) − (S · (D ·i C)))))
24	5, 23	syl 12	. 2 ⊢ (¬ D = 0v → ((norm ‘(C −v (S ·s D)))↑2) = ((((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(S · (D ·i C)))) + (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) − (S · (D ·i C)))))
25	1, 2, 3, 4	pjthlem6 5230	. . . . . 6 ⊢ (¬ D = 0v → (S · (D ·i C)) = (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)))
26	25	fveq2d 2836	. . . . 5 ⊢ (¬ D = 0v → (∗ ‘(S · (D ·i C))) = (∗ ‘(R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))))
27	1, 2	pjthlem2 5226	. . . . . 6 ⊢ (¬ D = 0v → R ∈ ℝ)
28	3, 1	hicl 5044	. . . . . . . . 9 ⊢ (C ·i D) ∈ ℂ
29	28	abscl 4840	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ‘(C ·i D)) ∈ ℝ
30	29	sqrecl 4699	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ‘(C ·i D))↑2) ∈ ℝ
31		axmulrcl 4069	. . . . . . 7 ⊢ ((R ∈ ℝ ∧ ((abs ‘(C ·i D))↑2) ∈ ℝ) → (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)) ∈ ℝ)
32	30, 31	mpan2 519	. . . . . 6 ⊢ (R ∈ ℝ → (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)) ∈ ℝ)
33		cjret 4829	. . . . . 6 ⊢ ((R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)) ∈ ℝ → (∗ ‘(R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))) = (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)))
34	27, 32, 33	3syl 21	. . . . 5 ⊢ (¬ D = 0v → (∗ ‘(R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))) = (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)))
35	26, 34	eqtrd 1128	. . . 4 ⊢ (¬ D = 0v → (∗ ‘(S · (D ·i C))) = (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)))
36	35	opreq2d 3013	. . 3 ⊢ (¬ D = 0v → (((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(S · (D ·i C)))) = (((norm ‘C)↑2) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))))
37	1, 2, 3, 4	pjthlem7 5231	. . . . 5 ⊢ (¬ D = 0v → ((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) = (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)))
38	37, 25	opreq12d 3014	. . . 4 ⊢ (¬ D = 0v → (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) − (S · (D ·i C))) = ((R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))))
39	27, 32	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (¬ D = 0v → (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)) ∈ ℝ)
40	39	recnd 4099	. . . . 5 ⊢ (¬ D = 0v → (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)) ∈ ℂ)
41		subidt 4159	. . . . 5 ⊢ ((R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)) ∈ ℂ → ((R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))) = 0)
42	40, 41	syl 12	. . . 4 ⊢ (¬ D = 0v → ((R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))) = 0)
43	38, 42	eqtrd 1128	. . 3 ⊢ (¬ D = 0v → (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) − (S · (D ·i C))) = 0)
44	36, 43	opreq12d 3014	. 2 ⊢ (¬ D = 0v → ((((norm ‘C)↑2) − (∗ ‘(S · (D ·i C)))) + (((S · (∗ ‘S)) · (D ·i D)) − (S · (D ·i C)))) = ((((norm ‘C)↑2) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))) + 0))
45	3	normcl 5081	. . . . . 6 ⊢ (norm ‘C) ∈ ℝ
46	45	sqrecl 4699	. . . . 5 ⊢ ((norm ‘C)↑2) ∈ ℝ
47	46	recn 4098	. . . 4 ⊢ ((norm ‘C)↑2) ∈ ℂ
48		subclt 4140	. . . 4 ⊢ ((((norm ‘C)↑2) ∈ ℂ ∧ (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)) ∈ ℂ) → (((norm ‘C)↑2) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))) ∈ ℂ)
49	47, 48	mpan 518	. . 3 ⊢ ((R · ((abs ‘(C ·i D))↑2)) ∈ ℂ → (((norm ‘C)↑2) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))) ∈ ℂ)
50		ax0id 4076	. . 3 ⊢ ((((norm ‘C)↑2) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))) ∈ ℂ → ((((norm ‘C)↑2) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))) + 0) = (((norm ‘C)↑2) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))))
51	40, 49, 50	3syl 21	. 2 ⊢ (¬ D = 0v → ((((norm ‘C)↑2) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))) + 0) = (((norm ‘C)↑2) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))))
52	24, 44, 51	3eqtrd 1132	1 ⊢ (¬ D = 0v → ((norm ‘(C −v (S ·s D)))↑2) = (((norm ‘C)↑2) − (R · ((abs ‘(C ·i D))↑2))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ifcif 1776   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   − cmin 4089   / cdiv 4091  2c2 4454  ↑cexp 4675  ∗ccj 4788  abscabs 4789   ℋ chil 4958   ·_s csm 4960  0_vc0v 4961   −_v cmv 4962   ·_i csp 4963  normcno 4964

This theorem is referenced by:  pjthlem10 5234

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulass 4992  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074

metamath.org