Theorem pjthu2 5242

Description: Corollary of projection theorem.

Hypothesis

Ref	Expression
pjthu2.1	⊢ H ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjthu2	⊢ (A ∈ ℋ → ∃!y ∈ (⊥ ‘H)∃x ∈ H A = (x +v y))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,H,y

Proof of Theorem pjthu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjthu2.1	. . . . 5 ⊢ H ∈ Cℋ
2		pjtht 5240	. . . . 5 ⊢ ((H ∈ Cℋ ∧ A ∈ ℋ ) → ∃x ∈ H ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y))
3	1, 2	mpan 518	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℋ → ∃x ∈ H ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y))
4		rexcom 1313	. . . 4 ⊢ (∃y ∈ (⊥ ‘H)∃x ∈ H A = (x +v y) ↔ ∃x ∈ H ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y))
5	3, 4	sylibr 175	. . 3 ⊢ (A ∈ ℋ → ∃y ∈ (⊥ ‘H)∃x ∈ H A = (x +v y))
6	1	chocuni 5179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ H ∧ y ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (z ∈ H ∧ w ∈ (⊥ ‘H))) → ((A = (x +v y) ∧ A = (z +v w)) → (x = z ∧ y = w)))
7	6	an4s 390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ H ∧ z ∈ H) ∧ (y ∈ (⊥ ‘H) ∧ w ∈ (⊥ ‘H))) → ((A = (x +v y) ∧ A = (z +v w)) → (x = z ∧ y = w)))
8		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x = z ∧ y = w) → y = w)
9	7, 8	syl6 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ H ∧ z ∈ H) ∧ (y ∈ (⊥ ‘H) ∧ w ∈ (⊥ ‘H))) → ((A = (x +v y) ∧ A = (z +v w)) → y = w))
10	9	ancoms 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y ∈ (⊥ ‘H) ∧ w ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (x ∈ H ∧ z ∈ H)) → ((A = (x +v y) ∧ A = (z +v w)) → y = w))
11	10	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ (⊥ ‘H) ∧ w ∈ (⊥ ‘H)) → ((x ∈ H ∧ z ∈ H) → ((A = (x +v y) ∧ A = (z +v w)) → y = w)))
12	11	imp3a 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ (⊥ ‘H) ∧ w ∈ (⊥ ‘H)) → (((x ∈ H ∧ z ∈ H) ∧ (A = (x +v y) ∧ A = (z +v w))) → y = w))
13	12	adantl 305	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ (y ∈ (⊥ ‘H) ∧ w ∈ (⊥ ‘H))) → (((x ∈ H ∧ z ∈ H) ∧ (A = (x +v y) ∧ A = (z +v w))) → y = w))
14	13	19.23advv 955	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ (y ∈ (⊥ ‘H) ∧ w ∈ (⊥ ‘H))) → (∃x∃z((x ∈ H ∧ z ∈ H) ∧ (A = (x +v y) ∧ A = (z +v w))) → y = w))
15		opreq1 3006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = z → (x +v w) = (z +v w))
16	15	cleq2d 1112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = z → (A = (x +v w) ↔ A = (z +v w)))
17	16	cbvrexv 1334	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃x ∈ H A = (x +v w) ↔ ∃z ∈ H A = (z +v w))
18	17	anbi2i 367	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃x ∈ H A = (x +v y) ∧ ∃x ∈ H A = (x +v w)) ↔ (∃x ∈ H A = (x +v y) ∧ ∃z ∈ H A = (z +v w)))
19		reeanv 1316	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃x ∈ H ∃z ∈ H (A = (x +v y) ∧ A = (z +v w)) ↔ (∃x ∈ H A = (x +v y) ∧ ∃z ∈ H A = (z +v w)))
20		r2ex 1241	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃x ∈ H ∃z ∈ H (A = (x +v y) ∧ A = (z +v w)) ↔ ∃x∃z((x ∈ H ∧ z ∈ H) ∧ (A = (x +v y) ∧ A = (z +v w))))
21	19, 20	bitr3 153	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃x ∈ H A = (x +v y) ∧ ∃z ∈ H A = (z +v w)) ↔ ∃x∃z((x ∈ H ∧ z ∈ H) ∧ (A = (x +v y) ∧ A = (z +v w))))
22	18, 21	bitr 151	. . . . . . 7 ⊢ ((∃x ∈ H A = (x +v y) ∧ ∃x ∈ H A = (x +v w)) ↔ ∃x∃z((x ∈ H ∧ z ∈ H) ∧ (A = (x +v y) ∧ A = (z +v w))))
23	14, 22	syl5ib 181	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ (y ∈ (⊥ ‘H) ∧ w ∈ (⊥ ‘H))) → ((∃x ∈ H A = (x +v y) ∧ ∃x ∈ H A = (x +v w)) → y = w))
24	23	exp32 294	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℋ → (y ∈ (⊥ ‘H) → (w ∈ (⊥ ‘H) → ((∃x ∈ H A = (x +v y) ∧ ∃x ∈ H A = (x +v w)) → y = w))))
25	24	r19.21adv 1262	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℋ → (y ∈ (⊥ ‘H) → ∀w ∈ (⊥ ‘H)((∃x ∈ H A = (x +v y) ∧ ∃x ∈ H A = (x +v w)) → y = w)))
26	25	r19.21aiv 1259	. . 3 ⊢ (A ∈ ℋ → ∀y ∈ (⊥ ‘H)∀w ∈ (⊥ ‘H)((∃x ∈ H A = (x +v y) ∧ ∃x ∈ H A = (x +v w)) → y = w))
27	5, 26	jca 236	. 2 ⊢ (A ∈ ℋ → (∃y ∈ (⊥ ‘H)∃x ∈ H A = (x +v y) ∧ ∀y ∈ (⊥ ‘H)∀w ∈ (⊥ ‘H)((∃x ∈ H A = (x +v y) ∧ ∃x ∈ H A = (x +v w)) → y = w)))
28		opreq2 3007	. . . . 5 ⊢ (y = w → (x +v y) = (x +v w))
29	28	cleq2d 1112	. . . 4 ⊢ (y = w → (A = (x +v y) ↔ A = (x +v w)))
30	29	birexdv 1220	. . 3 ⊢ (y = w → (∃x ∈ H A = (x +v y) ↔ ∃x ∈ H A = (x +v w)))
31	30	reu4 1340	. 2 ⊢ (∃!y ∈ (⊥ ‘H)∃x ∈ H A = (x +v y) ↔ (∃y ∈ (⊥ ‘H)∃x ∈ H A = (x +v y) ∧ ∀y ∈ (⊥ ‘H)∀w ∈ (⊥ ‘H)((∃x ∈ H A = (x +v y) ∧ ∃x ∈ H A = (x +v w)) → y = w)))
32	27, 31	sylibr 175	1 ⊢ (A ∈ ℋ → ∃!y ∈ (⊥ ‘H)∃x ∈ H A = (x +v y))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157

metamath.org