Theorem pjvalt 5246

Description: Value of a projection.

Assertion

Ref	Expression
pjvalt	⊢ ((H ∈ Cℋ ∧ A ∈ ℋ ) → ((Proj ‘H) ‘A) = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)})

Distinct variable group(s):   x,y,H   x,A,y

Proof of Theorem pjvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjmvalt 5245	. . . 4 ⊢ (H ∈ Cℋ → (Proj ‘H) = {⟨z, w⟩∣(z ∈ ℋ ∧ w = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)z = (x +v y)})})
2	1	fveq1d 2834	. . 3 ⊢ (H ∈ Cℋ → ((Proj ‘H) ‘A) = ({⟨z, w⟩∣(z ∈ ℋ ∧ w = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)z = (x +v y)})} ‘A))
3	2	adantr 306	. 2 ⊢ ((H ∈ Cℋ ∧ A ∈ ℋ ) → ((Proj ‘H) ‘A) = ({⟨z, w⟩∣(z ∈ ℋ ∧ w = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)z = (x +v y)})} ‘A))
4		cleq1 1107	. . . . . . . 8 ⊢ (z = A → (z = (x +v y) ↔ A = (x +v y)))
5	4	birexdv 1220	. . . . . . 7 ⊢ (z = A → (∃y ∈ (⊥ ‘H)z = (x +v y) ↔ ∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)))
6	5	birabsdv 1344	. . . . . 6 ⊢ (z = A → {x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)z = (x +v y)} = {x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)})
7	6	unieqd 1929	. . . . 5 ⊢ (z = A → ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)z = (x +v y)} = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)})
8		cleqid 1102	. . . . 5 ⊢ {⟨z, w⟩∣(z ∈ ℋ ∧ w = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)z = (x +v y)})} = {⟨z, w⟩∣(z ∈ ℋ ∧ w = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)z = (x +v y)})}
9	7, 8	fvopab4g 2870	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)} ∈ V) → ({⟨z, w⟩∣(z ∈ ℋ ∧ w = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)z = (x +v y)})} ‘A) = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)})
10		rabexg 1705	. . . . 5 ⊢ (H ∈ Cℋ → {x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)} ∈ V)
11		uniexg 1948	. . . . 5 ⊢ ({x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)} ∈ V → ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)} ∈ V)
12	10, 11	syl 12	. . . 4 ⊢ (H ∈ Cℋ → ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)} ∈ V)
13	9, 12	sylan2 346	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ H ∈ Cℋ ) → ({⟨z, w⟩∣(z ∈ ℋ ∧ w = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)z = (x +v y)})} ‘A) = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)})
14	13	ancoms 334	. 2 ⊢ ((H ∈ Cℋ ∧ A ∈ ℋ ) → ({⟨z, w⟩∣(z ∈ ℋ ∧ w = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)z = (x +v y)})} ‘A) = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)})
15	3, 14	eqtrd 1128	1 ⊢ ((H ∈ Cℋ ∧ A ∈ ℋ ) → ((Proj ‘H) ‘A) = ∪{x ∈ H∣∃y ∈ (⊥ ‘H)A = (x +v y)})

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  {crab 1204  Vcvv 1348  ∪cuni 1919  {copab 2055   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  axpjclt 5247  pjpj0 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-pj 5244

metamath.org