Theorem pp0ex 1886

Description: The power set of the power set of the empty set is a set.

Assertion

Ref	Expression
pp0ex	⊢ {∅, {∅}} ∈ V

Proof of Theorem pp0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwpw0 1883	. 2 ⊢ ℘{∅} = {∅, {∅}}
2		p0ex 1885	. . 3 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	pwex 1806	. 2 ⊢ ℘{∅} ∈ V
4	1, 3	eqeltrr 1160	1 ⊢ {∅, {∅}} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∅c0 1707  ℘cpw 1798  {csn 1808  {cpr 1809

This theorem is referenced by:  zfpair 1891

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

metamath.org