Theorem prcdpq 3891

Description: A positive real is closed downwards under the positive fractions. Definition 9-3.1 (ii) of [Gleason] p. 121.

Assertion

Ref	Expression
prcdpq	⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ A) → (C <Q B → C ∈ A))

Proof of Theorem prcdpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = B → (x ∈ A ↔ B ∈ A))
2	1	anbi2d 468	. . . . . . . 8 ⊢ (x = B → ((A ∈ P ∧ x ∈ A) ↔ (A ∈ P ∧ B ∈ A)))
3		breq2 2066	. . . . . . . 8 ⊢ (x = B → (y <Q x ↔ y <Q B))
4	2, 3	anbi12d 476	. . . . . . 7 ⊢ (x = B → (((A ∈ P ∧ x ∈ A) ∧ y <Q x) ↔ ((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ y <Q B)))
5	4	imbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (x = B → ((((A ∈ P ∧ x ∈ A) ∧ y <Q x) → y ∈ A) ↔ (((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ y <Q B) → y ∈ A)))
6		breq1 2065	. . . . . . . 8 ⊢ (y = C → (y <Q B ↔ C <Q B))
7	6	anbi2d 468	. . . . . . 7 ⊢ (y = C → (((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ y <Q B) ↔ ((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ C <Q B)))
8		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (y = C → (y ∈ A ↔ C ∈ A))
9	7, 8	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (y = C → ((((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ y <Q B) → y ∈ A) ↔ (((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ C <Q B) → C ∈ A)))
10		elnp 3886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ P ↔ ((∅ ⊂ A ∧ A ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ A (∀y(y <Q x → y ∈ A) ∧ ∃y ∈ A x <Q y)))
11	10	pm3.27bd 263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ P → ∀x ∈ A (∀y(y <Q x → y ∈ A) ∧ ∃y ∈ A x <Q y))
12	11	r19.21bi 1266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ P ∧ x ∈ A) → (∀y(y <Q x → y ∈ A) ∧ ∃y ∈ A x <Q y))
13	12	pm3.26d 258	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ P ∧ x ∈ A) → ∀y(y <Q x → y ∈ A))
14	13	19.21bi 742	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ P ∧ x ∈ A) → (y <Q x → y ∈ A))
15	14	imp 277	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ P ∧ x ∈ A) ∧ y <Q x) → y ∈ A)
16	5, 9, 15	vtocl2g 1386	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ A ∧ C ∈ V) → (((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ C <Q B) → C ∈ A))
17		ltrelpq 3845	. . . . . . 7 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
18		relxp 2486	. . . . . . 7 ⊢ Rel (Q × Q)
19		ssrel 2479	. . . . . . 7 ⊢ ( <Q ⊆ (Q × Q) → (Rel (Q × Q) → Rel <Q ))
20	17, 18, 19	mp2 43	. . . . . 6 ⊢ Rel <Q
21	20	brrelexi 2447	. . . . 5 ⊢ (C <Q B → C ∈ V)
22	16, 21	sylan2 346	. . . 4 ⊢ ((B ∈ A ∧ C <Q B) → (((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ C <Q B) → C ∈ A))
23	22	adantll 309	. . 3 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ C <Q B) → (((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ C <Q B) → C ∈ A))
24	23	pm2.43i 58	. 2 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ A) ∧ C <Q B) → C ∈ A)
25	24	exp 291	1 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ A) → (C <Q B → C ∈ A))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488  ∅c0 1707   class class class wbr 2054   × cxp 2408  Rel wrel 2415  Qcnq 3773   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  prub 3892  addclprlem1 3912  mulclprlem 3915  distrlem4pr 3924  1idpr 3927  psslinpr 3929  prlem934 3933  ltaddpr 3934  ltexprlem2 3937  ltexprlem3 3938  ltexprlem6 3941  prlem936 3949  reclem2pr 3951  suplem1pr 3955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-qs 3205  df-ni 3794  df-nq 3832  df-ltq 3836  df-np 3880

metamath.org