Theorem prlem934 3933

Description: Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
prlem934	⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ Q) → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x +Q B) ∈ A))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem prlem934

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 3888	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ P → A ⊂ Q)
2		dfpss3 1558	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊂ Q ↔ (A ⊆ Q ∧ ¬ Q ⊆ A))
3	1, 2	sylib 173	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ P → (A ⊆ Q ∧ ¬ Q ⊆ A))
4	3	pm3.27d 262	. . . . 5 ⊢ (A ∈ P → ¬ Q ⊆ A)
5	4	adantl 305	. . . 4 ⊢ ((B ∈ Q ∧ A ∈ P) → ¬ Q ⊆ A)
6		df-nq 3832	. . . . . . . . . 10 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
7		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q = y → ([⟨v, u⟩] ~Q ∈ A ↔ y ∈ A))
8	7	imbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q = y → ((∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A) ↔ (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → y ∈ A)))
9	8	imbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q = y → ((A ∈ P → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A)) ↔ (A ∈ P → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → y ∈ A))))
10		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = (x +Q B))
11	10	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ((x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A ↔ (x +Q B) ∈ A))
12	11	imbi2d 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ((x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) ↔ (x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)))
13	12	bialdv 935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) ↔ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)))
14	13	imbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ((∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → y ∈ A) ↔ (∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A) → y ∈ A)))
15	14	imbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ((A ∈ P → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → y ∈ A)) ↔ (A ∈ P → (∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A) → y ∈ A))))
16		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((u ∈ N ∧ w ∈ N) → w ∈ N)
17	16, 16	jca 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((u ∈ N ∧ w ∈ N) → (w ∈ N ∧ w ∈ N))
18	17	anim1i 269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → ((w ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)))
19		an42 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((w ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) ↔ ((w ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)))
20	18, 19	sylib 173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → ((w ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)))
21		mulclpi 3815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((w ∈ N ∧ v ∈ N) → (w ·N v) ∈ N)
22		enqex 3842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ~Q ∈ V
23		ecexg 3204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ( ~Q ∈ V → [⟨z, w⟩] ~Q ∈ V)
24	22, 23	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ [⟨z, w⟩] ~Q ∈ V
25	24	prlem934a 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((w ·N v) ∈ N → ((([⟨z, w⟩] ~Q ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A))
26	25	exp4c 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((w ·N v) ∈ N → ([⟨z, w⟩] ~Q ∈ Q → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → (y ∈ A → (y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A))))
27	22, 6	ecopqsi 3230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → [⟨z, w⟩] ~Q ∈ Q)
28	26, 27	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((w ·N v) ∈ N → ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → (y ∈ A → (y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A))))
29	21, 28	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((w ∈ N ∧ v ∈ N) → ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → (y ∈ A → (y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A))))
30	29	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((w ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → (y ∈ A → (y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A)))
31	20, 30	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → (y ∈ A → (y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A)))
32	31	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → (y ∈ A → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → (y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A)))
33	32	adantld 307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → (y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A)))
34		prcdpq 3891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((A ∈ P ∧ (y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A) → ([⟨v, u⟩] ~Q <Q (y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A))
35		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ V
36		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ y ∈ V
37	35, 36	ltaddpq 3873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ Q ∧ y ∈ Q) → ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y))
38		1pi 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 1o ∈ N
39	22, 6	ecopqsi 3230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((w ·N v) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → [⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
40	38, 39	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((w ·N v) ∈ N → [⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
41	21, 40	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((w ∈ N ∧ v ∈ N) → [⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
42	41, 27	anim12i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((w ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ [⟨z, w⟩] ~Q ∈ Q))
43		mulclpq 3854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ [⟨z, w⟩] ~Q ∈ Q) → ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ Q)
44	20, 42, 43	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ Q)
45	37, 44	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) ∧ y ∈ Q) → ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y))
46		prlem934b 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨v, u⟩] ~Q ∨ [⟨v, u⟩] ~Q <Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )))
47		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨v, u⟩] ~Q → (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y) ↔ [⟨v, u⟩] ~Q <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y)))
48	47	biimpd 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨v, u⟩] ~Q → (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y) → [⟨v, u⟩] ~Q <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y)))
49		ecexg 3204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ( ~Q ∈ V → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ V)
50	22, 49	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ [⟨v, u⟩] ~Q ∈ V
51		ltsopq 3869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ <Q Or Q
52		ltrelpq 3845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
53		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y) ∈ V
54	50, 51, 52, 35, 53	sotri 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (([⟨v, u⟩] ~Q <Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∧ ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y)) → [⟨v, u⟩] ~Q <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y))
55	54	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q <Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) → (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y) → [⟨v, u⟩] ~Q <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y)))
56	48, 55	jaoi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨v, u⟩] ~Q ∨ [⟨v, u⟩] ~Q <Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) → (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y) → [⟨v, u⟩] ~Q <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y)))
57	46, 56	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y) → [⟨v, u⟩] ~Q <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y)))
58	57	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) ∧ y ∈ Q) → (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y) → [⟨v, u⟩] ~Q <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y)))
59	45, 58	mpd 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) ∧ y ∈ Q) → [⟨v, u⟩] ~Q <Q (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y))
60	35, 36	addcompq 3856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) +Q y) = (y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
61	59, 60	syl6breq 2093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) ∧ y ∈ Q) → [⟨v, u⟩] ~Q <Q (y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )))
62	34, 61	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((A ∈ P ∧ (y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A) → ((((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) ∧ y ∈ Q) → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A))
63	62	exp4b 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (A ∈ P → ((y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A → (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → (y ∈ Q → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A))))
64	63	com24 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (A ∈ P → (y ∈ Q → (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → ((y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A))))
65		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → y ∈ Q)
66	64, 65	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (A ∈ P → ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → ((y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A))))
67	66	anabsi5 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → ((y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A)))
68	67	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → ((y +Q ([⟨(w ·N v), 1o⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ∈ A → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A)))
69	33, 68	syldd 50	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A)))
70	69	19.23adv 954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → (∃y(A ∈ P ∧ y ∈ A) → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A)))
71		prn0 3887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (A ∈ P → ¬ A = ∅)
72		n0 1714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ A = ∅ ↔ ∃y y ∈ A)
73	71, 72	sylib 173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ∈ P → ∃y y ∈ A)
74	73	ancli 244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ P → (A ∈ P ∧ ∃y y ∈ A))
75		19.42v 966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃y(A ∈ P ∧ y ∈ A) ↔ (A ∈ P ∧ ∃y y ∈ A))
76	74, 75	sylibr 175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ P → ∃y(A ∈ P ∧ y ∈ A))
77	70, 76	syl5 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((u ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ z ∈ N)) → (A ∈ P → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A)))
78	77	ancoms 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((v ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ w ∈ N)) → (A ∈ P → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A)))
79	78	an4s 390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → (A ∈ P → (∀x(x ∈ A → (x +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ A) → [⟨v, u⟩] ~Q ∈ A)))
80	6, 9, 15, 79	2ecoptocl 3240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A ∈ P → (∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A) → y ∈ A)))
81	80	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ Q → (B ∈ Q → (A ∈ P → (∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A) → y ∈ A))))
82	81	com4l 39	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ Q → (A ∈ P → (∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A) → (y ∈ Q → y ∈ A))))
83	82	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ Q ∧ A ∈ P) → (∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A) → (y ∈ Q → y ∈ A)))
84	83	19.21adv 945	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ Q ∧ A ∈ P) → (∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A) → ∀y(y ∈ Q → y ∈ A)))
85		dfss2 1497	. . . . 5 ⊢ (Q ⊆ A ↔ ∀y(y ∈ Q → y ∈ A))
86	84, 85	syl6ibr 186	. . . 4 ⊢ ((B ∈ Q ∧ A ∈ P) → (∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A) → Q ⊆ A))
87	5, 86	mtod 95	. . 3 ⊢ ((B ∈ Q ∧ A ∈ P) → ¬ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A))
88		exanali 725	. . 3 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x +Q B) ∈ A) ↔ ¬ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A))
89	87, 88	sylibr 175	. 2 ⊢ ((B ∈ Q ∧ A ∈ P) → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x +Q B) ∈ A))
90	89	ancoms 334	1 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ Q) → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x +Q B) ∈ A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488  ∅c0 1707  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  1_oc1o 3099  [cec 3198  Ncnpi 3766   ·_N cmi 3768   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775   ·_Q cmq 3776   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  ltaddpr 3934  ltexprlem7 3942  prlem936 3949

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880

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