Theorem prlem934a 3931

Description: Sublemma for Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122.

Hypothesis

Ref	Expression
prlem934a.1	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
prlem934a	⊢ (C ∈ N → (((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨C, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem prlem934a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 1876	. . . . . . 7 ⊢ (w = 1o → ⟨w, 1o⟩ = ⟨1o, 1o⟩)
2		eceq2 3215	. . . . . . 7 ⊢ (⟨w, 1o⟩ = ⟨1o, 1o⟩ → [⟨w, 1o⟩] ~Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
3	1, 2	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (w = 1o → [⟨w, 1o⟩] ~Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
4	3	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (w = 1o → ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B) = ([⟨1o, 1o⟩] ~Q ·Q B))
5	4	opreq2d 3013	. . . 4 ⊢ (w = 1o → (y +Q ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B)) = (y +Q ([⟨1o, 1o⟩] ~Q ·Q B)))
6	5	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (w = 1o → ((y +Q ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A ↔ (y +Q ([⟨1o, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A))
7	6	imbi2d 464	. 2 ⊢ (w = 1o → ((((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A) ↔ (((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨1o, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A)))
8		opeq1 1876	. . . . . . 7 ⊢ (w = z → ⟨w, 1o⟩ = ⟨z, 1o⟩)
9		eceq2 3215	. . . . . . 7 ⊢ (⟨w, 1o⟩ = ⟨z, 1o⟩ → [⟨w, 1o⟩] ~Q = [⟨z, 1o⟩] ~Q )
10	8, 9	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (w = z → [⟨w, 1o⟩] ~Q = [⟨z, 1o⟩] ~Q )
11	10	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (w = z → ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B) = ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B))
12	11	opreq2d 3013	. . . 4 ⊢ (w = z → (y +Q ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B)) = (y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)))
13	12	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (w = z → ((y +Q ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A ↔ (y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A))
14	13	imbi2d 464	. 2 ⊢ (w = z → ((((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A) ↔ (((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A)))
15		opeq1 1876	. . . . . . 7 ⊢ (w = (z +N 1o) → ⟨w, 1o⟩ = ⟨(z +N 1o), 1o⟩)
16		eceq2 3215	. . . . . . 7 ⊢ (⟨w, 1o⟩ = ⟨(z +N 1o), 1o⟩ → [⟨w, 1o⟩] ~Q = [⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q )
17	15, 16	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (w = (z +N 1o) → [⟨w, 1o⟩] ~Q = [⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q )
18	17	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (w = (z +N 1o) → ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B) = ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B))
19	18	opreq2d 3013	. . . 4 ⊢ (w = (z +N 1o) → (y +Q ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B)) = (y +Q ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B)))
20	19	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (w = (z +N 1o) → ((y +Q ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A ↔ (y +Q ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A))
21	20	imbi2d 464	. 2 ⊢ (w = (z +N 1o) → ((((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A) ↔ (((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A)))
22		opeq1 1876	. . . . . . 7 ⊢ (w = C → ⟨w, 1o⟩ = ⟨C, 1o⟩)
23		eceq2 3215	. . . . . . 7 ⊢ (⟨w, 1o⟩ = ⟨C, 1o⟩ → [⟨w, 1o⟩] ~Q = [⟨C, 1o⟩] ~Q )
24	22, 23	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (w = C → [⟨w, 1o⟩] ~Q = [⟨C, 1o⟩] ~Q )
25	24	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (w = C → ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B) = ([⟨C, 1o⟩] ~Q ·Q B))
26	25	opreq2d 3013	. . . 4 ⊢ (w = C → (y +Q ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B)) = (y +Q ([⟨C, 1o⟩] ~Q ·Q B)))
27	26	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (w = C → ((y +Q ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A ↔ (y +Q ([⟨C, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A))
28	27	imbi2d 464	. 2 ⊢ (w = C → ((((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨w, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A) ↔ (((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨C, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A)))
29		eleq1 1149	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (x ∈ A ↔ y ∈ A))
30		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → (x +Q B) = (y +Q B))
31	30	eleq1d 1155	. . . . . 6 ⊢ (x = y → ((x +Q B) ∈ A ↔ (y +Q B) ∈ A))
32	29, 31	imbi12d 474	. . . . 5 ⊢ (x = y → ((x ∈ A → (x +Q B) ∈ A) ↔ (y ∈ A → (y +Q B) ∈ A)))
33	32	a4b1 928	. . . 4 ⊢ (∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A) → (y ∈ A → (y +Q B) ∈ A))
34		mulidpq 3863	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ Q → (B ·Q 1Q) = B)
35		prlem934a.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ B ∈ V
36		1q 3851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1Q ∈ Q
37	36	elisseti 1355	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1Q ∈ V
38	35, 37	mulcompq 3858	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ·Q 1Q) = (1Q ·Q B)
39	34, 38	syl5eqr 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ Q → (1Q ·Q B) = B)
40		df-1q 3837	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
41	40	opreq1i 3009	. . . . . . . 8 ⊢ (1Q ·Q B) = ([⟨1o, 1o⟩] ~Q ·Q B)
42	39, 41	syl5eqr 1138	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ Q → ([⟨1o, 1o⟩] ~Q ·Q B) = B)
43	42	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ Q → (y +Q ([⟨1o, 1o⟩] ~Q ·Q B)) = (y +Q B))
44	43	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (B ∈ Q → ((y +Q ([⟨1o, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A ↔ (y +Q B) ∈ A))
45	44	biimprd 136	. . . 4 ⊢ (B ∈ Q → ((y +Q B) ∈ A → (y +Q ([⟨1o, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A))
46	33, 45	sylan9r 360	. . 3 ⊢ ((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) → (y ∈ A → (y +Q ([⟨1o, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A))
47	46	imp 277	. 2 ⊢ (((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨1o, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A)
48		oprex 3018	. . . . . . . 8 ⊢ (y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ V
49		eleq1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) → (x ∈ A ↔ (y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A))
50		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) → (x +Q B) = ((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) +Q B))
51	50	eleq1d 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) → ((x +Q B) ∈ A ↔ ((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) +Q B) ∈ A))
52	49, 51	imbi12d 474	. . . . . . . 8 ⊢ (x = (y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) → ((x ∈ A → (x +Q B) ∈ A) ↔ ((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A → ((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) +Q B) ∈ A)))
53	48, 52	cla4v 1400	. . . . . . 7 ⊢ (∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A) → ((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A → ((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) +Q B) ∈ A))
54	34, 38	syl5reqr 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (B ∈ Q → B = (1Q ·Q B))
55	54	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (B ∈ Q → (([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B) +Q B) = (([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B) +Q (1Q ·Q B)))
56		enqex 3842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ~Q ∈ V
57		ecexg 3204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( ~Q ∈ V → [⟨z, 1o⟩] ~Q ∈ V)
58	56, 57	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ [⟨z, 1o⟩] ~Q ∈ V
59		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ v ∈ V
60		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ u ∈ V
61	59, 60	mulcompq 3858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v ·Q u) = (u ·Q v)
62		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ f ∈ V
63	60, 62	distrpq 3861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v ·Q (u +Q f)) = ((v ·Q u) +Q (v ·Q f))
64	58, 37, 35, 61, 63	caoprdistrr 3081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (([⟨z, 1o⟩] ~Q +Q 1Q) ·Q B) = (([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B) +Q (1Q ·Q B))
65	55, 64	syl6eqr 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (B ∈ Q → (([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B) +Q B) = (([⟨z, 1o⟩] ~Q +Q 1Q) ·Q B))
66		1pi 3805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1o ∈ N
67	66, 66	pm3.2i 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1o ∈ N ∧ 1o ∈ N)
68		addpipq 3848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((z ∈ N ∧ 1o ∈ N) ∧ (1o ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨z, 1o⟩] ~Q +Q [⟨1o, 1o⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩] ~Q )
69	67, 68	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((z ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ([⟨z, 1o⟩] ~Q +Q [⟨1o, 1o⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩] ~Q )
70	66, 69	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z ∈ N → ([⟨z, 1o⟩] ~Q +Q [⟨1o, 1o⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩] ~Q )
71	40	opreq2i 3010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([⟨z, 1o⟩] ~Q +Q 1Q) = ([⟨z, 1o⟩] ~Q +Q [⟨1o, 1o⟩] ~Q )
72	70, 71	syl5eq 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ N → ([⟨z, 1o⟩] ~Q +Q 1Q) = [⟨((z ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩] ~Q )
73		mulidpi 3808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ∈ N → (z ·N 1o) = z)
74		mulidpi 3808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1o ∈ N → (1o ·N 1o) = 1o)
75	66, 74	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1o ·N 1o) = 1o
76	75	a1i 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ∈ N → (1o ·N 1o) = 1o)
77	73, 76	opreq12d 3014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z ∈ N → ((z ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) = (z +N 1o))
78	77, 75	jctir 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z ∈ N → (((z ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) = (z +N 1o) ∧ (1o ·N 1o) = 1o))
79		opeq12 1878	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((z ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) = (z +N 1o) ∧ (1o ·N 1o) = 1o) → ⟨((z ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩ = ⟨(z +N 1o), 1o⟩)
80		eceq2 3215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨((z ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩ = ⟨(z +N 1o), 1o⟩ → [⟨((z ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q )
81	78, 79, 80	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ N → [⟨((z ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩] ~Q = [⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q )
82	72, 81	eqtrd 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z ∈ N → ([⟨z, 1o⟩] ~Q +Q 1Q) = [⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q )
83	82	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z ∈ N → (([⟨z, 1o⟩] ~Q +Q 1Q) ·Q B) = ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B))
84	65, 83	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ N ∧ B ∈ Q) → (([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B) +Q B) = ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B))
85	84	opreq2d 3013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ∈ N ∧ B ∈ Q) → (y +Q (([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B) +Q B)) = (y +Q ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B)))
86		oprex 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B) ∈ V
87	86, 35	addasspq 3857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) +Q B) = (y +Q (([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B) +Q B))
88	85, 87	syl5eq 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ N ∧ B ∈ Q) → ((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) +Q B) = (y +Q ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B)))
89	88	eleq1d 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ N ∧ B ∈ Q) → (((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) +Q B) ∈ A ↔ (y +Q ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A))
90	89	biimpd 135	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ N ∧ B ∈ Q) → (((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) +Q B) ∈ A → (y +Q ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A))
91	53, 90	sylan9r 360	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ N ∧ B ∈ Q) ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) → ((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A → (y +Q ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A))
92	91	exp31 293	. . . . 5 ⊢ (z ∈ N → (B ∈ Q → (∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A) → ((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A → (y +Q ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A))))
93	92	imp3a 279	. . . 4 ⊢ (z ∈ N → ((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) → ((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A → (y +Q ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A)))
94	93	adantrd 308	. . 3 ⊢ (z ∈ N → (((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → ((y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A → (y +Q ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A)))
95	94	a2d 15	. 2 ⊢ (z ∈ N → ((((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨z, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A) → (((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨(z +N 1o), 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A)))
96	7, 14, 21, 28, 47, 95	indpi 3828	1 ⊢ (C ∈ N → (((B ∈ Q ∧ ∀x(x ∈ A → (x +Q B) ∈ A)) ∧ y ∈ A) → (y +Q ([⟨C, 1o⟩] ~Q ·Q B)) ∈ A))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810  (class class class)co 3001  1_oc1o 3099  [cec 3198  Ncnpi 3766   +_N cpli 3767   ·_N cmi 3768   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773  1_Qc1q 3774   +_Q cplq 3775   ·_Q cmq 3776

This theorem is referenced by:  prlem934 3933

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-1q 3837

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