Theorem prlem936 3949

Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
prlem936.1	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
prlem936	⊢ ((A ∈ P ∧ 1Q <Q B) → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem prlem936

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prn0 3887	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → ¬ A = ∅)
2		n0 1714	. . . 4 ⊢ (¬ A = ∅ ↔ ∃y y ∈ A)
3	1, 2	sylib 173	. . 3 ⊢ (A ∈ P → ∃y y ∈ A)
4		prlem934 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ Q) → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x +Q z) ∈ A))
5		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((y +Q z) = (y ·Q B) → ((y +Q z) ∈ A ↔ (y ·Q B) ∈ A))
6	5	biimparc 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((y ·Q B) ∈ A ∧ (y +Q z) = (y ·Q B)) → (y +Q z) ∈ A)
7		prub 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((A ∈ P ∧ (y +Q z) ∈ A) ∧ (x +Q z) ∈ Q) → (¬ (x +Q z) ∈ A → (y +Q z) <Q (x +Q z)))
8		addclpq 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((x ∈ Q ∧ z ∈ Q) → (x +Q z) ∈ Q)
9	7, 8	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((A ∈ P ∧ (y +Q z) ∈ A) ∧ (x ∈ Q ∧ z ∈ Q)) → (¬ (x +Q z) ∈ A → (y +Q z) <Q (x +Q z)))
10		prlem936a 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((x ∈ Q ∧ (z ∈ Q ∧ y ∈ Q)) → ((y +Q z) <Q (x +Q z) ↔ (x +Q z) <Q ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y +Q z))))
11		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((y +Q z) = (y ·Q B) → ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y +Q z)) = ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y ·Q B)))
12		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ y ∈ V
13		fvex 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (*Q ‘y) ∈ V
14		prlem936.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ B ∈ V
15		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ z ∈ V
16		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ w ∈ V
17	15, 16	mulcompq 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (z ·Q w) = (w ·Q z)
18		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ v ∈ V
19	16, 18	mulasspq 3859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((z ·Q w) ·Q v) = (z ·Q (w ·Q v))
20		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ x ∈ V
21	12, 13, 14, 17, 19, 20	caopr42 3080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((y ·Q (*Q ‘y)) ·Q (B ·Q x)) = ((y ·Q B) ·Q (x ·Q (*Q ‘y)))
22		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (B ·Q x) ∈ V
23		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (y ·Q (*Q ‘y)) ∈ V
24	22, 23	mulcompq 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((B ·Q x) ·Q (y ·Q (*Q ‘y))) = ((y ·Q (*Q ‘y)) ·Q (B ·Q x))
25		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (x ·Q (*Q ‘y)) ∈ V
26		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (y ·Q B) ∈ V
27	25, 26	mulcompq 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y ·Q B)) = ((y ·Q B) ·Q (x ·Q (*Q ‘y)))
28	21, 24, 27	3eqtr4 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((B ·Q x) ·Q (y ·Q (*Q ‘y))) = ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y ·Q B))
29	11, 28	syl6eqr 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((y +Q z) = (y ·Q B) → ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y +Q z)) = ((B ·Q x) ·Q (y ·Q (*Q ‘y))))
30		recidpq 3865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (y ∈ Q → (y ·Q (*Q ‘y)) = 1Q)
31	30	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (y ∈ Q → ((B ·Q x) ·Q (y ·Q (*Q ‘y))) = ((B ·Q x) ·Q 1Q))
32		ltrelpq 3845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
33	14, 32	brel 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (1Q <Q B → (1Q ∈ Q ∧ B ∈ Q))
34	33	pm3.27d 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1Q <Q B → B ∈ Q)
35	34	anim1i 269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((1Q <Q B ∧ x ∈ Q) → (B ∈ Q ∧ x ∈ Q))
36		mulclpq 3854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((B ∈ Q ∧ x ∈ Q) → (B ·Q x) ∈ Q)
37		mulidpq 3863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((B ·Q x) ∈ Q → ((B ·Q x) ·Q 1Q) = (B ·Q x))
38	20, 14	mulcompq 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (x ·Q B) = (B ·Q x)
39	37, 38	syl6eqr 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((B ·Q x) ∈ Q → ((B ·Q x) ·Q 1Q) = (x ·Q B))
40	35, 36, 39	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1Q <Q B ∧ x ∈ Q) → ((B ·Q x) ·Q 1Q) = (x ·Q B))
41	31, 40	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((1Q <Q B ∧ x ∈ Q) ∧ y ∈ Q) → ((B ·Q x) ·Q (y ·Q (*Q ‘y))) = (x ·Q B))
42	29, 41	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((1Q <Q B ∧ x ∈ Q) ∧ y ∈ Q) ∧ (y +Q z) = (y ·Q B)) → ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y +Q z)) = (x ·Q B))
43	42	breq2d 2072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((1Q <Q B ∧ x ∈ Q) ∧ y ∈ Q) ∧ (y +Q z) = (y ·Q B)) → ((x +Q z) <Q ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y +Q z)) ↔ (x +Q z) <Q (x ·Q B)))
44		prcdpq 3891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((A ∈ P ∧ (x ·Q B) ∈ A) → ((x +Q z) <Q (x ·Q B) → (x +Q z) ∈ A))
45	44	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (A ∈ P → ((x ·Q B) ∈ A → ((x +Q z) <Q (x ·Q B) → (x +Q z) ∈ A)))
46	45	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (A ∈ P → ((x +Q z) <Q (x ·Q B) → ((x ·Q B) ∈ A → (x +Q z) ∈ A)))
47	46	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((A ∈ P ∧ (x +Q z) <Q (x ·Q B)) → ((x ·Q B) ∈ A → (x +Q z) ∈ A))
48	47	con3d 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((A ∈ P ∧ (x +Q z) <Q (x ·Q B)) → (¬ (x +Q z) ∈ A → ¬ (x ·Q B) ∈ A))
49	6, 9, 10, 43, 48	prlem936b 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((A ∈ P ∧ z ∈ Q) ∧ (((y +Q z) = (y ·Q B) ∧ y ∈ Q) ∧ (1Q <Q B ∧ (y ·Q B) ∈ A))) → ((x ∈ A ∧ ¬ (x +Q z) ∈ A) → (x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A)))
50	49	19.22dv 947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((A ∈ P ∧ z ∈ Q) ∧ (((y +Q z) = (y ·Q B) ∧ y ∈ Q) ∧ (1Q <Q B ∧ (y ·Q B) ∈ A))) → (∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x +Q z) ∈ A) → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A)))
51	50	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ Q) → ((((y +Q z) = (y ·Q B) ∧ y ∈ Q) ∧ (1Q <Q B ∧ (y ·Q B) ∈ A)) → (∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x +Q z) ∈ A) → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))))
52	51	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ Q) → (∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x +Q z) ∈ A) → ((((y +Q z) = (y ·Q B) ∧ y ∈ Q) ∧ (1Q <Q B ∧ (y ·Q B) ∈ A)) → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))))
53	4, 52	mpd 46	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ Q) → ((((y +Q z) = (y ·Q B) ∧ y ∈ Q) ∧ (1Q <Q B ∧ (y ·Q B) ∈ A)) → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A)))
54	53	exp4d 298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ Q) → (((y +Q z) = (y ·Q B) ∧ y ∈ Q) → (1Q <Q B → ((y ·Q B) ∈ A → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A)))))
55	54	exp4b 296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ P → (z ∈ Q → ((y +Q z) = (y ·Q B) → (y ∈ Q → (1Q <Q B → ((y ·Q B) ∈ A → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A)))))))
56	55	imp3a 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ P → ((z ∈ Q ∧ (y +Q z) = (y ·Q B)) → (y ∈ Q → (1Q <Q B → ((y ·Q B) ∈ A → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))))))
57	56	19.23adv 954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ P → (∃z(z ∈ Q ∧ (y +Q z) = (y ·Q B)) → (y ∈ Q → (1Q <Q B → ((y ·Q B) ∈ A → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))))))
58		1q 3851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1Q ∈ Q
59	58	elisseti 1355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1Q ∈ V
60	59, 14	ltmpq 3871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ Q → (1Q <Q B ↔ (y ·Q 1Q) <Q (y ·Q B)))
61		mulidpq 3863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ∈ Q → (y ·Q 1Q) = y)
62	61	breq1d 2071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ Q → ((y ·Q 1Q) <Q (y ·Q B) ↔ y <Q (y ·Q B)))
63	60, 62	bitrd 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ Q → (1Q <Q B ↔ y <Q (y ·Q B)))
64	26, 32	brel 2459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y <Q (y ·Q B) → (y ∈ Q ∧ (y ·Q B) ∈ Q))
65	12	ltexpq2 3875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ∈ Q ∧ (y ·Q B) ∈ Q) → (y <Q (y ·Q B) ↔ ∃z(z ∈ Q ∧ (y +Q z) = (y ·Q B))))
66	65	biimpcd 137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y <Q (y ·Q B) → ((y ∈ Q ∧ (y ·Q B) ∈ Q) → ∃z(z ∈ Q ∧ (y +Q z) = (y ·Q B))))
67	64, 66	mpd 46	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y <Q (y ·Q B) → ∃z(z ∈ Q ∧ (y +Q z) = (y ·Q B)))
68	63, 67	syl6bi 187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ Q → (1Q <Q B → ∃z(z ∈ Q ∧ (y +Q z) = (y ·Q B))))
69	68	imp 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ Q ∧ 1Q <Q B) → ∃z(z ∈ Q ∧ (y +Q z) = (y ·Q B)))
70	57, 69	syl5 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ P → ((y ∈ Q ∧ 1Q <Q B) → (y ∈ Q → (1Q <Q B → ((y ·Q B) ∈ A → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))))))
71	70	imp4a 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ P → ((y ∈ Q ∧ 1Q <Q B) → ((y ∈ Q ∧ 1Q <Q B) → ((y ·Q B) ∈ A → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A)))))
72	71	pm2.43d 59	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ P → ((y ∈ Q ∧ 1Q <Q B) → ((y ·Q B) ∈ A → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))))
73	72	exp3a 292	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ P → (y ∈ Q → (1Q <Q B → ((y ·Q B) ∈ A → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A)))))
74		pm3.26 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → A ∈ P)
75		elprpq 3889	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → y ∈ Q)
76	73, 74, 75	sylc 62	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → (1Q <Q B → ((y ·Q B) ∈ A → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))))
77	76	com23 32	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → ((y ·Q B) ∈ A → (1Q <Q B → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))))
78		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = y → (x ∈ A ↔ y ∈ A))
79		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = y → (x ·Q B) = (y ·Q B))
80	79	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = y → ((x ·Q B) ∈ A ↔ (y ·Q B) ∈ A))
81	80	negbid 463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = y → (¬ (x ·Q B) ∈ A ↔ ¬ (y ·Q B) ∈ A))
82	78, 81	anbi12d 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = y → ((x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A) ↔ (y ∈ A ∧ ¬ (y ·Q B) ∈ A)))
83	12, 82	cla4ev 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ A ∧ ¬ (y ·Q B) ∈ A) → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))
84	83	a1d 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ A ∧ ¬ (y ·Q B) ∈ A) → (1Q <Q B → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A)))
85	84	exp 291	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ A → (¬ (y ·Q B) ∈ A → (1Q <Q B → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))))
86	85	adantl 305	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → (¬ (y ·Q B) ∈ A → (1Q <Q B → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))))
87	77, 86	pm2.61d 112	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → (1Q <Q B → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A)))
88	87	exp 291	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → (y ∈ A → (1Q <Q B → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))))
89	88	19.23adv 954	. . 3 ⊢ (A ∈ P → (∃y y ∈ A → (1Q <Q B → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))))
90	3, 89	mpd 46	. 2 ⊢ (A ∈ P → (1Q <Q B → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A)))
91	90	imp 277	1 ⊢ ((A ∈ P ∧ 1Q <Q B) → ∃x(x ∈ A ∧ ¬ (x ·Q B) ∈ A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∅c0 1707   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  Qcnq 3773  1_Qc1q 3774   +_Q cplq 3775   ·_Q cmq 3776  *_Qcrq 3777   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  reclem3pr 3952

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880

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