Theorem prlem936a 3947

Description: Sublemma for Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. This is a property of positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
prlem936a	⊢ ((x ∈ Q ∧ (z ∈ Q ∧ y ∈ Q)) → ((y +Q z) <Q (x +Q z) ↔ (x +Q z) <Q ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y +Q z))))

Proof of Theorem prlem936a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclpq 3866	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ Q → (*Q ‘y) ∈ Q)
2	1	anim2i 270	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ Q ∧ y ∈ Q) → (z ∈ Q ∧ (*Q ‘y) ∈ Q))
3		mulclpq 3854	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ Q ∧ (*Q ‘y) ∈ Q) → (z ·Q (*Q ‘y)) ∈ Q)
4		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
5		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
6	4, 5	ltmpq 3871	. . . . 5 ⊢ ((z ·Q (*Q ‘y)) ∈ Q → (y <Q x ↔ ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q y) <Q ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x)))
7	2, 3, 6	3syl 21	. . . 4 ⊢ ((z ∈ Q ∧ y ∈ Q) → (y <Q x ↔ ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q y) <Q ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x)))
8	4, 5	ltapq 3870	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ Q → (y <Q x ↔ (z +Q y) <Q (z +Q x)))
9		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ z ∈ V
10	9, 4	addcompq 3856	. . . . . . 7 ⊢ (z +Q y) = (y +Q z)
11	9, 5	addcompq 3856	. . . . . . 7 ⊢ (z +Q x) = (x +Q z)
12	10, 11	breq12i 2070	. . . . . 6 ⊢ ((z +Q y) <Q (z +Q x) ↔ (y +Q z) <Q (x +Q z))
13	8, 12	syl6bb 414	. . . . 5 ⊢ (z ∈ Q → (y <Q x ↔ (y +Q z) <Q (x +Q z)))
14	13	adantr 306	. . . 4 ⊢ ((z ∈ Q ∧ y ∈ Q) → (y <Q x ↔ (y +Q z) <Q (x +Q z)))
15		recidpq 3865	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ Q → (y ·Q (*Q ‘y)) = 1Q)
16	15	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ Q → (z ·Q (y ·Q (*Q ‘y))) = (z ·Q 1Q))
17		mulidpq 3863	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ Q → (z ·Q 1Q) = z)
18	16, 17	sylan9eqr 1145	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ Q ∧ y ∈ Q) → (z ·Q (y ·Q (*Q ‘y))) = z)
19		fvex 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (*Q ‘y) ∈ V
20	19, 4	mulasspq 3859	. . . . . . 7 ⊢ ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q y) = (z ·Q ((*Q ‘y) ·Q y))
21	4, 19	mulcompq 3858	. . . . . . . 8 ⊢ (y ·Q (*Q ‘y)) = ((*Q ‘y) ·Q y)
22	21	opreq2i 3010	. . . . . . 7 ⊢ (z ·Q (y ·Q (*Q ‘y))) = (z ·Q ((*Q ‘y) ·Q y))
23	20, 22	eqtr4 1122	. . . . . 6 ⊢ ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q y) = (z ·Q (y ·Q (*Q ‘y)))
24	18, 23	syl5eq 1136	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ Q ∧ y ∈ Q) → ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q y) = z)
25	24	breq1d 2071	. . . 4 ⊢ ((z ∈ Q ∧ y ∈ Q) → (((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q y) <Q ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x) ↔ z <Q ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x)))
26	7, 14, 25	3bitr3d 423	. . 3 ⊢ ((z ∈ Q ∧ y ∈ Q) → ((y +Q z) <Q (x +Q z) ↔ z <Q ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x)))
27		oprex 3018	. . . 4 ⊢ ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x) ∈ V
28	9, 27	ltapq 3870	. . 3 ⊢ (x ∈ Q → (z <Q ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x) ↔ (x +Q z) <Q (x +Q ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x))))
29	26, 28	sylan9bbr 419	. 2 ⊢ ((x ∈ Q ∧ (z ∈ Q ∧ y ∈ Q)) → ((y +Q z) <Q (x +Q z) ↔ (x +Q z) <Q (x +Q ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x))))
30	19, 4	mulcompq 3858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*Q ‘y) ·Q y) = (y ·Q (*Q ‘y))
31	15, 30	syl5eq 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ Q → ((*Q ‘y) ·Q y) = 1Q)
32	31	opreq2d 3013	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ Q → (x ·Q ((*Q ‘y) ·Q y)) = (x ·Q 1Q))
33	19, 4	mulasspq 3859	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q y) = (x ·Q ((*Q ‘y) ·Q y))
34	32, 33	syl5eq 1136	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ Q → ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q y) = (x ·Q 1Q))
35		mulidpq 3863	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ Q → (x ·Q 1Q) = x)
36	34, 35	sylan9eqr 1145	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) → ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q y) = x)
37		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ w ∈ V
38		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ v ∈ V
39	37, 38	mulcompq 3858	. . . . . . . 8 ⊢ (w ·Q v) = (v ·Q w)
40		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ u ∈ V
41	38, 40	mulasspq 3859	. . . . . . . 8 ⊢ ((w ·Q v) ·Q u) = (w ·Q (v ·Q u))
42	5, 19, 9, 39, 41	caopr31 3076	. . . . . . 7 ⊢ ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q z) = ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x)
43	42	a1i 7	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) → ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q z) = ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x))
44	36, 43	opreq12d 3014	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) → (((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q y) +Q ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q z)) = (x +Q ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x)))
45	4, 9	distrpq 3861	. . . . 5 ⊢ ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y +Q z)) = (((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q y) +Q ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q z))
46	44, 45	syl5eq 1136	. . . 4 ⊢ ((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) → ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y +Q z)) = (x +Q ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x)))
47	46	adantrl 311	. . 3 ⊢ ((x ∈ Q ∧ (z ∈ Q ∧ y ∈ Q)) → ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y +Q z)) = (x +Q ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x)))
48	47	breq2d 2072	. 2 ⊢ ((x ∈ Q ∧ (z ∈ Q ∧ y ∈ Q)) → ((x +Q z) <Q ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y +Q z)) ↔ (x +Q z) <Q (x +Q ((z ·Q (*Q ‘y)) ·Q x))))
49	29, 48	bitr4d 409	1 ⊢ ((x ∈ Q ∧ (z ∈ Q ∧ y ∈ Q)) → ((y +Q z) <Q (x +Q z) ↔ (x +Q z) <Q ((x ·Q (*Q ‘y)) ·Q (y +Q z))))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  Qcnq 3773  1_Qc1q 3774   +_Q cplq 3775   ·_Q cmq 3776  *_Qcrq 3777   <_Q cltq 3778

This theorem is referenced by:  prlem936 3949

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837

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