Theorem prnmax 3893

Description: A positive real has no largest member. Definition 9-3.1(iii) of [Gleason] p. 121.

Assertion

Ref	Expression
prnmax	⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ A) → ∃x(x ∈ A ∧ B <Q x))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem prnmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . . 6 ⊢ (y = B → (y ∈ A ↔ B ∈ A))
2	1	anbi2d 468	. . . . 5 ⊢ (y = B → ((A ∈ P ∧ y ∈ A) ↔ (A ∈ P ∧ B ∈ A)))
3		breq1 2065	. . . . . 6 ⊢ (y = B → (y <Q x ↔ B <Q x))
4	3	birexdv 1220	. . . . 5 ⊢ (y = B → (∃x ∈ A y <Q x ↔ ∃x ∈ A B <Q x))
5	2, 4	imbi12d 474	. . . 4 ⊢ (y = B → (((A ∈ P ∧ y ∈ A) → ∃x ∈ A y <Q x) ↔ ((A ∈ P ∧ B ∈ A) → ∃x ∈ A B <Q x)))
6		elnp 3886	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ P ↔ ((∅ ⊂ A ∧ A ⊂ Q) ∧ ∀y ∈ A (∀x(x <Q y → x ∈ A) ∧ ∃x ∈ A y <Q x)))
7	6	pm3.27bd 263	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ P → ∀y ∈ A (∀x(x <Q y → x ∈ A) ∧ ∃x ∈ A y <Q x))
8	7	r19.21bi 1266	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → (∀x(x <Q y → x ∈ A) ∧ ∃x ∈ A y <Q x))
9	8	pm3.27d 262	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ y ∈ A) → ∃x ∈ A y <Q x)
10	5, 9	vtoclg 1383	. . 3 ⊢ (B ∈ A → ((A ∈ P ∧ B ∈ A) → ∃x ∈ A B <Q x))
11	10	anabsi7 379	. 2 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ A) → ∃x ∈ A B <Q x)
12		df-rex 1206	. 2 ⊢ (∃x ∈ A B <Q x ↔ ∃x(x ∈ A ∧ B <Q x))
13	11, 12	sylib 173	1 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ A) → ∃x(x ∈ A ∧ B <Q x))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ⊂ wpss 1488  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  Qcnq 3773   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  prnmadd 3894  genpnmax 3904  1idpr 3927  ltexprlem4 3939  reclem3pr 3952  suplem1pr 3955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-qs 3205  df-ni 3794  df-nq 3832  df-np 3880

metamath.org