Theorem projlem1 5193

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100: "Choose e > 0. Let n₀ be a natural number satisfying the inequality n₀ > 4(2i₀ + 1) · e ↑ -1." Used by projlem2 5194.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem1.1	⊢ R ∈ ℝ
projlem1.2	⊢ D ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
projlem1	⊢ (0 < D → ∃z ∈ ℕ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2))

Distinct variable group(s):   z,R   z,D

Proof of Theorem projlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem1.2	. . 3 ⊢ D ∈ ℝ
2	1	gt0ne0 4340	. 2 ⊢ (0 < D → D ≠ 0)
3	1	sqegt0 4703	. 2 ⊢ (D ≠ 0 → 0 < (D↑2))
4	1	sqrecl 4699	. . . . 5 ⊢ (D↑2) ∈ ℝ
5	4	gt0ne0 4340	. . . 4 ⊢ (0 < (D↑2) → (D↑2) ≠ 0)
6		4re 4473	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
7		2re 4470	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		projlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ R ∈ ℝ
9	7, 8	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ (2 · R) ∈ ℝ
10		ax1re 4064	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	9, 10	readdcl 4118	. . . . . 6 ⊢ ((2 · R) + 1) ∈ ℝ
12	6, 11	remulcl 4119	. . . . 5 ⊢ (4 · ((2 · R) + 1)) ∈ ℝ
13	12, 4	redivclz 4275	. . . 4 ⊢ ((D↑2) ≠ 0 → ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) ∈ ℝ)
14		arch 4521	. . . 4 ⊢ (((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) ∈ ℝ → ∃z ∈ ℕ ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < z)
15	5, 13, 14	3syl 21	. . 3 ⊢ (0 < (D↑2) → ∃z ∈ ℕ ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < z)
16		nnret 4427	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ℕ → z ∈ ℝ)
17		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = if(z ∈ ℝ, z, 0) → (0 < z ↔ 0 < if(z ∈ ℝ, z, 0)))
18	17	anbi1d 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = if(z ∈ ℝ, z, 0) → ((0 < z ∧ 0 < (D↑2)) ↔ (0 < if(z ∈ ℝ, z, 0) ∧ 0 < (D↑2))))
19		opreq2 3007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z = if(z ∈ ℝ, z, 0) → ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) = ((4 · ((2 · R) + 1)) / if(z ∈ ℝ, z, 0)))
20	19	breq1d 2071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = if(z ∈ ℝ, z, 0) → (((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2) ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / if(z ∈ ℝ, z, 0)) < (D↑2)))
21		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = if(z ∈ ℝ, z, 0) → (((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < z ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < if(z ∈ ℝ, z, 0)))
22	20, 21	bibi12d 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = if(z ∈ ℝ, z, 0) → ((((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2) ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < z) ↔ (((4 · ((2 · R) + 1)) / if(z ∈ ℝ, z, 0)) < (D↑2) ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < if(z ∈ ℝ, z, 0))))
23	18, 22	imbi12d 474	. . . . . . . 8 ⊢ (z = if(z ∈ ℝ, z, 0) → (((0 < z ∧ 0 < (D↑2)) → (((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2) ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < z)) ↔ ((0 < if(z ∈ ℝ, z, 0) ∧ 0 < (D↑2)) → (((4 · ((2 · R) + 1)) / if(z ∈ ℝ, z, 0)) < (D↑2) ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < if(z ∈ ℝ, z, 0)))))
24		ax0re 4063	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	24	elimel 1793	. . . . . . . . 9 ⊢ if(z ∈ ℝ, z, 0) ∈ ℝ
26	12, 25, 4	ltdiv23 4413	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < if(z ∈ ℝ, z, 0) ∧ 0 < (D↑2)) → (((4 · ((2 · R) + 1)) / if(z ∈ ℝ, z, 0)) < (D↑2) ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < if(z ∈ ℝ, z, 0)))
27	23, 26	dedth 1784	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ℝ → ((0 < z ∧ 0 < (D↑2)) → (((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2) ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < z)))
28		nngt0t 4441	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ℕ → 0 < z)
29	27, 28	sylani 356	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ℝ → ((z ∈ ℕ ∧ 0 < (D↑2)) → (((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2) ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < z)))
30	16, 29	syl 12	. . . . 5 ⊢ (z ∈ ℕ → ((z ∈ ℕ ∧ 0 < (D↑2)) → (((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2) ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < z)))
31	30	anabsi8 380	. . . 4 ⊢ ((0 < (D↑2) ∧ z ∈ ℕ) → (((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2) ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < z))
32	31	birexdva 1216	. . 3 ⊢ (0 < (D↑2) → (∃z ∈ ℕ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2) ↔ ∃z ∈ ℕ ((4 · ((2 · R) + 1)) / (D↑2)) < z))
33	15, 32	mpbird 171	. 2 ⊢ (0 < (D↑2) → ∃z ∈ ℕ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2))
34	2, 3, 33	3syl 21	1 ⊢ (0 < D → ∃z ∈ ℕ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∃wrex 1202  ifcif 1776   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   / cdiv 4091  ℕcn 4093  2c2 4454  4c4 4456  ↑cexp 4675

This theorem is referenced by:  projlem2 5194

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org