Theorem projlem12 5204

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100 (lemma for projection theorem). The infimum is less than any norm in the set of norms. Used by projlem14 5206 projlem18 5210 projlem31 5223.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem11.1	⊢ A ∈ ℋ
projlem11.2	⊢ H ∈ Cℋ
projlem11.3	⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
projlem11.4	⊢ R = -sup(S, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
projlem12	⊢ (B ∈ H → R ≤ (norm ‘(B −v A)))

Distinct variable group(s):   v,u,A   u,H,v

Proof of Theorem projlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem11.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ ℋ
2		projlem11.2	. . . . 5 ⊢ H ∈ Cℋ
3		projlem11.3	. . . . 5 ⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
4	1, 2, 3	projlem10 5202	. . . 4 ⊢ (B ∈ H → -(norm ‘(B −v A)) ∈ S)
5	1, 2, 3	projlem8 5200	. . . . 5 ⊢ (S ⊆ ℝ ∧ ¬ S = ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ S y ≤ x)
6	5	suprubi 4517	. . . 4 ⊢ (-(norm ‘(B −v A)) ∈ S → -(norm ‘(B −v A)) ≤ sup(S, ℝ, < ))
7	4, 6	syl 12	. . 3 ⊢ (B ∈ H → -(norm ‘(B −v A)) ≤ sup(S, ℝ, < ))
8		projlem11.4	. . . 4 ⊢ R = -sup(S, ℝ, < )
9	1, 2, 3, 8	projlem11 5203	. . . . . 6 ⊢ R ∈ ℝ
10	9	recn 4098	. . . . 5 ⊢ R ∈ ℂ
11	1, 2, 3	projlem9 5201	. . . . . 6 ⊢ sup(S, ℝ, < ) ∈ ℝ
12	11	recn 4098	. . . . 5 ⊢ sup(S, ℝ, < ) ∈ ℂ
13	10, 12	negcon2 4166	. . . 4 ⊢ (R = -sup(S, ℝ, < ) ↔ sup(S, ℝ, < ) = -R)
14	8, 13	mpbi 164	. . 3 ⊢ sup(S, ℝ, < ) = -R
15	7, 14	syl6breq 2093	. 2 ⊢ (B ∈ H → -(norm ‘(B −v A)) ≤ -R)
16	2	chel 5137	. . . . 5 ⊢ (B ∈ H → B ∈ ℋ )
17		hvsubclt 4998	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → (B −v A) ∈ ℋ )
18	1, 17	mpan2 519	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℋ → (B −v A) ∈ ℋ )
19		normclt 5076	. . . . 5 ⊢ ((B −v A) ∈ ℋ → (norm ‘(B −v A)) ∈ ℝ)
20	16, 18, 19	3syl 21	. . . 4 ⊢ (B ∈ H → (norm ‘(B −v A)) ∈ ℝ)
21	20, 9	jctil 240	. . 3 ⊢ (B ∈ H → (R ∈ ℝ ∧ (norm ‘(B −v A)) ∈ ℝ))
22		lenegt 4368	. . 3 ⊢ ((R ∈ ℝ ∧ (norm ‘(B −v A)) ∈ ℝ) → (R ≤ (norm ‘(B −v A)) ↔ -(norm ‘(B −v A)) ≤ -R))
23	21, 22	syl 12	. 2 ⊢ (B ∈ H → (R ≤ (norm ‘(B −v A)) ↔ -(norm ‘(B −v A)) ≤ -R))
24	15, 23	mpbird 171	1 ⊢ (B ∈ H → R ≤ (norm ‘(B −v A)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  {crab 1204   class class class wbr 2054  supcsup 2060   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027   < clt 4033  -cneg 4090   ≤ cle 4092   ℋ chil 4958   −_v cmv 4962  normcno 4964   C_ℋ cch 4968

This theorem is referenced by:  projlem14 5206  projlem18 5210  projlem31 5223

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org