Theorem projlem15 5207

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100 (lemma for projection theorem). Used by projlem16 5208.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem11.1	⊢ A ∈ ℋ
projlem11.2	⊢ H ∈ Cℋ
projlem11.3	⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
projlem11.4	⊢ R = -sup(S, ℝ, < )
projlem15.5	⊢ C ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
projlem15	⊢ ∃z ∈ H (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / C))

Distinct variable group(s):   v,u,z,A   u,H,v,z   z,S   z,R   v,C,u,z

Proof of Theorem projlem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem11.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ ℋ
2		projlem11.2	. . . . . 6 ⊢ H ∈ Cℋ
3		projlem11.3	. . . . . 6 ⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
4		projlem11.4	. . . . . 6 ⊢ R = -sup(S, ℝ, < )
5	1, 2, 3, 4	projlem11 5203	. . . . 5 ⊢ R ∈ ℝ
6		ax1re 4064	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		projlem15.5	. . . . . . 7 ⊢ C ∈ ℕ
8	7	nnre 4429	. . . . . 6 ⊢ C ∈ ℝ
9	7	nnne0 4446	. . . . . 6 ⊢ C ≠ 0
10	6, 8, 9	redivcl 4274	. . . . 5 ⊢ (1 / C) ∈ ℝ
11	5, 10	readdcl 4118	. . . 4 ⊢ (R + (1 / C)) ∈ ℝ
12	11	renegcl 4171	. . 3 ⊢ -(R + (1 / C)) ∈ ℝ
13		nnrecgt0t 4447	. . . . . . 7 ⊢ (C ∈ ℕ → 0 < (1 / C))
14	7, 13	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ 0 < (1 / C)
15	10, 5	ltaddpos 4327	. . . . . 6 ⊢ (0 < (1 / C) ↔ R < (R + (1 / C)))
16	14, 15	mpbi 164	. . . . 5 ⊢ R < (R + (1 / C))
17	4, 16	eqbrtrr 2078	. . . 4 ⊢ -sup(S, ℝ, < ) < (R + (1 / C))
18	1, 2, 3	projlem9 5201	. . . . 5 ⊢ sup(S, ℝ, < ) ∈ ℝ
19	18, 11	ltnegcon1 4332	. . . 4 ⊢ (-sup(S, ℝ, < ) < (R + (1 / C)) ↔ -(R + (1 / C)) < sup(S, ℝ, < ))
20	17, 19	mpbi 164	. . 3 ⊢ -(R + (1 / C)) < sup(S, ℝ, < )
21		ltso 4279	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
22	1, 2, 3	projlem8 5200	. . . . 5 ⊢ (S ⊆ ℝ ∧ ¬ S = ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ S y ≤ x)
23	22	sup3i 4515	. . . 4 ⊢ ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ S ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃w ∈ S y < w))
24	21, 23	suplubi 2166	. . 3 ⊢ ((-(R + (1 / C)) ∈ ℝ ∧ -(R + (1 / C)) < sup(S, ℝ, < )) → ∃w ∈ S -(R + (1 / C)) < w)
25	12, 20, 24	mp2an 520	. 2 ⊢ ∃w ∈ S -(R + (1 / C)) < w
26		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = -(norm ‘(z −v A)) → (-(R + (1 / C)) < w ↔ -(R + (1 / C)) < -(norm ‘(z −v A))))
27	26	biimpd 135	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = -(norm ‘(z −v A)) → (-(R + (1 / C)) < w → -(R + (1 / C)) < -(norm ‘(z −v A))))
28	2	chel 5137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z ∈ H → z ∈ ℋ )
29	28, 1	jctir 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z ∈ H → (z ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ))
30		hvsubclt 4998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → (z −v A) ∈ ℋ )
31	29, 30	syl 12	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z ∈ H → (z −v A) ∈ ℋ )
32		normclt 5076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z −v A) ∈ ℋ → (norm ‘(z −v A)) ∈ ℝ)
33		ltnegt 4366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((norm ‘(z −v A)) ∈ ℝ ∧ (R + (1 / C)) ∈ ℝ) → ((norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / C)) ↔ -(R + (1 / C)) < -(norm ‘(z −v A))))
34	11, 33	mpan2 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((norm ‘(z −v A)) ∈ ℝ → ((norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / C)) ↔ -(R + (1 / C)) < -(norm ‘(z −v A))))
35	31, 32, 34	3syl 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ H → ((norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / C)) ↔ -(R + (1 / C)) < -(norm ‘(z −v A))))
36	35	biimprd 136	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ H → (-(R + (1 / C)) < -(norm ‘(z −v A)) → (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / C))))
37	27, 36	syl9 55	. . . . . . . 8 ⊢ (w = -(norm ‘(z −v A)) → (z ∈ H → (-(R + (1 / C)) < w → (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / C)))))
38	37	com13 33	. . . . . . 7 ⊢ (-(R + (1 / C)) < w → (z ∈ H → (w = -(norm ‘(z −v A)) → (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / C)))))
39	38	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((-(R + (1 / C)) < w ∧ z ∈ H) → (w = -(norm ‘(z −v A)) → (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / C))))
40	39	r19.22dva 1280	. . . . 5 ⊢ (-(R + (1 / C)) < w → (∃z ∈ H w = -(norm ‘(z −v A)) → ∃z ∈ H (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / C))))
41	3	eleq2i 1153	. . . . . . 7 ⊢ (w ∈ S ↔ w ∈ {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))})
42		cleq1 1107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (u = w → (u = -(norm ‘(z −v A)) ↔ w = -(norm ‘(z −v A))))
43	42	birexdv 1220	. . . . . . . . 9 ⊢ (u = w → (∃z ∈ H u = -(norm ‘(z −v A)) ↔ ∃z ∈ H w = -(norm ‘(z −v A))))
44		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v = z → (v −v A) = (z −v A))
45	44	fveq2d 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v = z → (norm ‘(v −v A)) = (norm ‘(z −v A)))
46	45	negeqd 4138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = z → -(norm ‘(v −v A)) = -(norm ‘(z −v A)))
47	46	cleq2d 1112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = z → (u = -(norm ‘(v −v A)) ↔ u = -(norm ‘(z −v A))))
48	47	cbvrexv 1334	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A)) ↔ ∃z ∈ H u = -(norm ‘(z −v A)))
49	43, 48	syl5bb 410	. . . . . . . 8 ⊢ (u = w → (∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A)) ↔ ∃z ∈ H w = -(norm ‘(z −v A))))
50	49	elrab 1422	. . . . . . 7 ⊢ (w ∈ {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))} ↔ (w ∈ ℝ ∧ ∃z ∈ H w = -(norm ‘(z −v A))))
51	41, 50	bitr 151	. . . . . 6 ⊢ (w ∈ S ↔ (w ∈ ℝ ∧ ∃z ∈ H w = -(norm ‘(z −v A))))
52	51	pm3.27bd 263	. . . . 5 ⊢ (w ∈ S → ∃z ∈ H w = -(norm ‘(z −v A)))
53	40, 52	syl5 22	. . . 4 ⊢ (-(R + (1 / C)) < w → (w ∈ S → ∃z ∈ H (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / C))))
54	53	com12 13	. . 3 ⊢ (w ∈ S → (-(R + (1 / C)) < w → ∃z ∈ H (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / C))))
55	54	r19.23aiv 1284	. 2 ⊢ (∃w ∈ S -(R + (1 / C)) < w → ∃z ∈ H (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / C)))
56	25, 55	ax-mp 6	1 ⊢ ∃z ∈ H (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / C))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  {crab 1204   class class class wbr 2054  supcsup 2060   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033  -cneg 4090   / cdiv 4091  ℕcn 4093   ℋ chil 4958   −_v cmv 4962  normcno 4964   C_ℋ cch 4968

This theorem is referenced by:  projlem16 5208

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org