Theorem projlem17 5209

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100 (lemma for projection theorem). This uses the Axiom of Choice to show the existence of a vector sequence satisfying the assumption of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100: "Let {y_n } be a sequence of W such that i₀ - 1/n < ||x₀ - y_n || < i₀ + 1/n." Here, H corresponds to "W"; f:ℕ–→H to "{y_n }"; w to "n"; R to "i₀ "; and (norm ‘(A −_v (f ‘w))) to "||x₀ - y_n ||". Used by projlem 5224.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem11.1	⊢ A ∈ ℋ
projlem11.2	⊢ H ∈ Cℋ
projlem11.3	⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
projlem11.4	⊢ R = -sup(S, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
projlem17	⊢ ∃f(f:ℕ–→H ∧ ∀w ∈ ℕ ((R − (1 / w)) < (norm ‘((f ‘w) −v A)) ∧ (norm ‘((f ‘w) −v A)) < (R + (1 / w))))

Distinct variable group(s):   v,u,w,f,A   u,H,v,w,f   w,S   w,R,f

Proof of Theorem projlem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 4431	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
2		projlem11.2	. . . 4 ⊢ H ∈ Cℋ
3	2	elisseti 1355	. . 3 ⊢ H ∈ V
4		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (z = (f ‘w) → (z −v A) = ((f ‘w) −v A))
5	4	fveq2d 2836	. . . . 5 ⊢ (z = (f ‘w) → (norm ‘(z −v A)) = (norm ‘((f ‘w) −v A)))
6	5	breq2d 2072	. . . 4 ⊢ (z = (f ‘w) → ((R − (1 / w)) < (norm ‘(z −v A)) ↔ (R − (1 / w)) < (norm ‘((f ‘w) −v A))))
7	5	breq1d 2071	. . . 4 ⊢ (z = (f ‘w) → ((norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / w)) ↔ (norm ‘((f ‘w) −v A)) < (R + (1 / w))))
8	6, 7	anbi12d 476	. . 3 ⊢ (z = (f ‘w) → (((R − (1 / w)) < (norm ‘(z −v A)) ∧ (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / w))) ↔ ((R − (1 / w)) < (norm ‘((f ‘w) −v A)) ∧ (norm ‘((f ‘w) −v A)) < (R + (1 / w)))))
9	1, 3, 8	ac6 3576	. 2 ⊢ (∀w ∈ ℕ ∃z ∈ H ((R − (1 / w)) < (norm ‘(z −v A)) ∧ (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / w))) → ∃f(f:ℕ–→H ∧ ∀w ∈ ℕ ((R − (1 / w)) < (norm ‘((f ‘w) −v A)) ∧ (norm ‘((f ‘w) −v A)) < (R + (1 / w)))))
10		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (w = if(w ∈ ℕ, w, 1) → (1 / w) = (1 / if(w ∈ ℕ, w, 1)))
11	10	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ (w = if(w ∈ ℕ, w, 1) → (R − (1 / w)) = (R − (1 / if(w ∈ ℕ, w, 1))))
12	11	breq1d 2071	. . . . 5 ⊢ (w = if(w ∈ ℕ, w, 1) → ((R − (1 / w)) < (norm ‘(z −v A)) ↔ (R − (1 / if(w ∈ ℕ, w, 1))) < (norm ‘(z −v A))))
13	10	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ (w = if(w ∈ ℕ, w, 1) → (R + (1 / w)) = (R + (1 / if(w ∈ ℕ, w, 1))))
14	13	breq2d 2072	. . . . 5 ⊢ (w = if(w ∈ ℕ, w, 1) → ((norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / w)) ↔ (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / if(w ∈ ℕ, w, 1)))))
15	12, 14	anbi12d 476	. . . 4 ⊢ (w = if(w ∈ ℕ, w, 1) → (((R − (1 / w)) < (norm ‘(z −v A)) ∧ (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / w))) ↔ ((R − (1 / if(w ∈ ℕ, w, 1))) < (norm ‘(z −v A)) ∧ (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / if(w ∈ ℕ, w, 1))))))
16	15	birexdv 1220	. . 3 ⊢ (w = if(w ∈ ℕ, w, 1) → (∃z ∈ H ((R − (1 / w)) < (norm ‘(z −v A)) ∧ (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / w))) ↔ ∃z ∈ H ((R − (1 / if(w ∈ ℕ, w, 1))) < (norm ‘(z −v A)) ∧ (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / if(w ∈ ℕ, w, 1))))))
17		projlem11.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℋ
18		projlem11.3	. . . 4 ⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
19		projlem11.4	. . . 4 ⊢ R = -sup(S, ℝ, < )
20		1nn 4432	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
21	20	elimel 1793	. . . 4 ⊢ if(w ∈ ℕ, w, 1) ∈ ℕ
22	17, 2, 18, 19, 21	projlem16 5208	. . 3 ⊢ ∃z ∈ H ((R − (1 / if(w ∈ ℕ, w, 1))) < (norm ‘(z −v A)) ∧ (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / if(w ∈ ℕ, w, 1))))
23	16, 22	dedth 1784	. 2 ⊢ (w ∈ ℕ → ∃z ∈ H ((R − (1 / w)) < (norm ‘(z −v A)) ∧ (norm ‘(z −v A)) < (R + (1 / w))))
24	9, 23	mprg 1249	1 ⊢ ∃f(f:ℕ–→H ∧ ∀w ∈ ℕ ((R − (1 / w)) < (norm ‘((f ‘w) −v A)) ∧ (norm ‘((f ‘w) −v A)) < (R + (1 / w))))

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  {crab 1204  ifcif 1776   class class class wbr 2054  supcsup 2060  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   − cmin 4089  -cneg 4090   / cdiv 4091  ℕcn 4093   ℋ chil 4958   −_v cmv 4962  normcno 4964   C_ℋ cch 4968

This theorem is referenced by:  projlem 5224

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org