Theorem projlem2 5194

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. We need the square root for the norm limit. Used by projlem28 5220.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem1.1	⊢ R ∈ ℝ
projlem1.2	⊢ D ∈ ℝ
projlem2.3	⊢ 0 ≤ R

Assertion

Ref	Expression
projlem2	⊢ (0 < D → ∃z ∈ ℕ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D)

Distinct variable group(s):   z,R   z,D

Proof of Theorem projlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem1.1	. . 3 ⊢ R ∈ ℝ
2		projlem1.2	. . 3 ⊢ D ∈ ℝ
3	1, 2	projlem1 5193	. 2 ⊢ (0 < D → ∃z ∈ ℕ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2))
4		lt2sqet 4706	. . . . 5 ⊢ (((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∈ ℝ ∧ D ∈ ℝ) → ((0 ≤ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∧ 0 ≤ D) → ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D ↔ ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z))↑2) < (D↑2))))
5		sqrclt 4767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((4 · ((2 · R) + 1)) / z) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) → (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∈ ℝ)
6		redivclt 4276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((4 · ((2 · R) + 1)) ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) ∧ z ≠ 0) → ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) ∈ ℝ)
7		nnret 4427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ ℕ → z ∈ ℝ)
8		4re 4473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
9		2re 4470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9, 1	remulcl 4119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · R) ∈ ℝ
11		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	10, 11	readdcl 4118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · R) + 1) ∈ ℝ
13	8, 12	remulcl 4119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · ((2 · R) + 1)) ∈ ℝ
14	7, 13	jctil 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ ℕ → ((4 · ((2 · R) + 1)) ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ))
15		nnne0t 4444	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ ℕ → z ≠ 0)
16	6, 14, 15	sylanc 361	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ ℕ → ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) ∈ ℝ)
17		divge0t 4403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4 · ((2 · R) + 1)) ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((0 ≤ (4 · ((2 · R) + 1)) ∧ 0 < z) → 0 ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z)))
18		nngt0t 4441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ ℕ → 0 < z)
19		ax0re 4063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
20		4pos 4481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 4
21		2pos 4479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
22	19, 9, 21	ltlei 4303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 2
23		projlem2.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ R
24	9, 1	mulge0 4335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 ≤ R) → 0 ≤ (2 · R))
25	22, 23, 24	mp2an 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ (2 · R)
26		lt01 4377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
27	10, 11	addgegt0 4325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ≤ (2 · R) ∧ 0 < 1) → 0 < ((2 · R) + 1))
28	25, 26, 27	mp2an 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ((2 · R) + 1)
29	8, 12, 20, 28	mulgt0i 4336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (4 · ((2 · R) + 1))
30	19, 13, 29	ltlei 4303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (4 · ((2 · R) + 1))
31	18, 30	jctil 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ ℕ → (0 ≤ (4 · ((2 · R) + 1)) ∧ 0 < z))
32	17, 14, 31	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ ℕ → 0 ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z))
33	5, 16, 32	sylanc 361	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ℕ → (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∈ ℝ)
34	33, 2	jctir 241	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ℕ → ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∈ ℝ ∧ D ∈ ℝ))
35	34	adantl 305	. . . . 5 ⊢ ((0 < D ∧ z ∈ ℕ) → ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∈ ℝ ∧ D ∈ ℝ))
36		sqrge0t 4769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((4 · ((2 · R) + 1)) / z) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) → 0 ≤ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)))
37	36, 16, 32	sylanc 361	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ℕ → 0 ≤ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)))
38	19, 2	ltle 4302	. . . . . . 7 ⊢ (0 < D → 0 ≤ D)
39	37, 38	anim12i 268	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ ℕ ∧ 0 < D) → (0 ≤ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∧ 0 ≤ D))
40	39	ancoms 334	. . . . 5 ⊢ ((0 < D ∧ z ∈ ℕ) → (0 ≤ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∧ 0 ≤ D))
41	4, 35, 40	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((0 < D ∧ z ∈ ℕ) → ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D ↔ ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z))↑2) < (D↑2)))
42		sqsqrt 4776	. . . . . . 7 ⊢ ((((4 · ((2 · R) + 1)) / z) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) → ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z))↑2) = ((4 · ((2 · R) + 1)) / z))
43	42, 16, 32	sylanc 361	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ℕ → ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z))↑2) = ((4 · ((2 · R) + 1)) / z))
44	43	breq1d 2071	. . . . 5 ⊢ (z ∈ ℕ → (((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z))↑2) < (D↑2) ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2)))
45	44	adantl 305	. . . 4 ⊢ ((0 < D ∧ z ∈ ℕ) → (((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z))↑2) < (D↑2) ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2)))
46	41, 45	bitrd 406	. . 3 ⊢ ((0 < D ∧ z ∈ ℕ) → ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D ↔ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2)))
47	46	birexdva 1216	. 2 ⊢ (0 < D → (∃z ∈ ℕ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D ↔ ∃z ∈ ℕ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) < (D↑2)))
48	3, 47	mpbird 171	1 ⊢ (0 < D → ∃z ∈ ℕ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∃wrex 1202   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   / cdiv 4091   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  2c2 4454  4c4 4456  ↑cexp 4675  √csqr 4727

This theorem is referenced by:  projlem28 5220

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728

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