Theorem projlem25 5217

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. "The sequence {||yn-x0||} of real numbers converges to the number ||y0-x0||" (here, "y0" is A and "x0" is z). Used by projlem31 5223.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem23.1	⊢ G = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℕ ∧ y = (norm ‘((F ‘x) −v A)))}
projlem25.2	⊢ A ∈ ℋ
projlem25.3	⊢ F ∈ V

Assertion

Ref	Expression
projlem25	⊢ (F ⇝v z → G ⇝ (norm ‘(z −v A)))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,z,F,y   z,G

Proof of Theorem projlem25

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem25.3	. . . . . 6 ⊢ F ∈ V
2		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
3	1, 2	hlimseq 5109	. . . . 5 ⊢ (F ⇝v z → F:ℕ–→ ℋ )
4		projlem23.1	. . . . . 6 ⊢ G = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℕ ∧ y = (norm ‘((F ‘x) −v A)))}
5		projlem25.2	. . . . . 6 ⊢ A ∈ ℋ
6	4, 5	projlem24 5216	. . . . 5 ⊢ (F:ℕ–→ ℋ → G:ℕ–→ℂ)
7	3, 6	syl 12	. . . 4 ⊢ (F ⇝v z → G:ℕ–→ℂ)
8	1, 2	hlimvec 5110	. . . . . . 7 ⊢ (F ⇝v z → z ∈ ℋ )
9	8, 5	jctir 241	. . . . . 6 ⊢ (F ⇝v z → (z ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ))
10		hvsubclt 4998	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → (z −v A) ∈ ℋ )
11		normclt 5076	. . . . . 6 ⊢ ((z −v A) ∈ ℋ → (norm ‘(z −v A)) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	3syl 21	. . . . 5 ⊢ (F ⇝v z → (norm ‘(z −v A)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 4099	. . . 4 ⊢ (F ⇝v z → (norm ‘(z −v A)) ∈ ℂ)
14	7, 13	jca 236	. . 3 ⊢ (F ⇝v z → (G:ℕ–→ℂ ∧ (norm ‘(z −v A)) ∈ ℂ))
15	1, 2	hlimconv 5111	. . . 4 ⊢ (F ⇝v z → ∀w ∈ ℝ (0 < w → ∃v ∈ ℕ ∀u ∈ ℕ (v ≤ u → (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w)))
16		lelttrt 4289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) ∈ ℝ ∧ (norm ‘((F ‘u) −v z)) ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ) → (((abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) ≤ (norm ‘((F ‘u) −v z)) ∧ (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w) → (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) < w))
17	16	3expa 612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) ∈ ℝ ∧ (norm ‘((F ‘u) −v z)) ∈ ℝ) ∧ w ∈ ℝ) → (((abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) ≤ (norm ‘((F ‘u) −v z)) ∧ (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w) → (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) < w))
18		resubclt 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((norm ‘((F ‘u) −v A)) ∈ ℝ ∧ (norm ‘(z −v A)) ∈ ℝ) → ((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A))) ∈ ℝ)
19		ffvrn 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((F:ℕ–→ ℋ ∧ u ∈ ℕ) → (F ‘u) ∈ ℋ )
20	19, 3	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((F ⇝v z ∧ u ∈ ℕ) → (F ‘u) ∈ ℋ )
21		hvsubclt 4998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((F ‘u) ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → ((F ‘u) −v A) ∈ ℋ )
22	5, 21	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((F ‘u) ∈ ℋ → ((F ‘u) −v A) ∈ ℋ )
23		normclt 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((F ‘u) −v A) ∈ ℋ → (norm ‘((F ‘u) −v A)) ∈ ℝ)
24	20, 22, 23	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((F ⇝v z ∧ u ∈ ℕ) → (norm ‘((F ‘u) −v A)) ∈ ℝ)
25	8	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((F ⇝v z ∧ u ∈ ℕ) → z ∈ ℋ )
26	5, 10	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (z ∈ ℋ → (z −v A) ∈ ℋ )
27	25, 26, 11	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((F ⇝v z ∧ u ∈ ℕ) → (norm ‘(z −v A)) ∈ ℝ)
28	18, 24, 27	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((F ⇝v z ∧ u ∈ ℕ) → ((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A))) ∈ ℝ)
29	28	recnd 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((F ⇝v z ∧ u ∈ ℕ) → ((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A))) ∈ ℂ)
30		absclt 4848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A))) ∈ ℂ → (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) ∈ ℝ)
31	29, 30	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((F ⇝v z ∧ u ∈ ℕ) → (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) ∈ ℝ)
32		hvsubclt 4998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((F ‘u) ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → ((F ‘u) −v z) ∈ ℋ )
33	32, 20, 25	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((F ⇝v z ∧ u ∈ ℕ) → ((F ‘u) −v z) ∈ ℋ )
34		normclt 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((F ‘u) −v z) ∈ ℋ → (norm ‘((F ‘u) −v z)) ∈ ℝ)
35	33, 34	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((F ⇝v z ∧ u ∈ ℕ) → (norm ‘((F ‘u) −v z)) ∈ ℝ)
36	31, 35	jca 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((F ⇝v z ∧ u ∈ ℕ) → ((abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) ∈ ℝ ∧ (norm ‘((F ‘u) −v z)) ∈ ℝ))
37	17, 36	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((F ⇝v z ∧ u ∈ ℕ) ∧ w ∈ ℝ) → (((abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) ≤ (norm ‘((F ‘u) −v z)) ∧ (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w) → (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) < w))
38	37	an1rs 373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((F ⇝v z ∧ w ∈ ℝ) ∧ u ∈ ℕ) → (((abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) ≤ (norm ‘((F ‘u) −v z)) ∧ (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w) → (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) < w))
39	5	norm3adift 5098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((F ‘u) ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) ≤ (norm ‘((F ‘u) −v z)))
40	39, 20, 25	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((F ⇝v z ∧ u ∈ ℕ) → (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) ≤ (norm ‘((F ‘u) −v z)))
41	40	adantlr 310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((F ⇝v z ∧ w ∈ ℝ) ∧ u ∈ ℕ) → (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) ≤ (norm ‘((F ‘u) −v z)))
42	38, 41	sylani 356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((F ⇝v z ∧ w ∈ ℝ) ∧ u ∈ ℕ) → ((((F ⇝v z ∧ w ∈ ℝ) ∧ u ∈ ℕ) ∧ (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w) → (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) < w))
43	42	anabsi5 377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((F ⇝v z ∧ w ∈ ℝ) ∧ u ∈ ℕ) ∧ (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w) → (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) < w)
44	4	projlem23 5215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (u ∈ ℕ → (G ‘u) = (norm ‘((F ‘u) −v A)))
45	44	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (u ∈ ℕ → ((G ‘u) − (norm ‘(z −v A))) = ((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A))))
46	45	fveq2d 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (u ∈ ℕ → (abs ‘((G ‘u) − (norm ‘(z −v A)))) = (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))))
47	46	breq1d 2071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u ∈ ℕ → ((abs ‘((G ‘u) − (norm ‘(z −v A)))) < w ↔ (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) < w))
48	47	ad2antlr 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((F ⇝v z ∧ w ∈ ℝ) ∧ u ∈ ℕ) ∧ (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w) → ((abs ‘((G ‘u) − (norm ‘(z −v A)))) < w ↔ (abs ‘((norm ‘((F ‘u) −v A)) − (norm ‘(z −v A)))) < w))
49	43, 48	mpbird 171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((F ⇝v z ∧ w ∈ ℝ) ∧ u ∈ ℕ) ∧ (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w) → (abs ‘((G ‘u) − (norm ‘(z −v A)))) < w)
50	49	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((F ⇝v z ∧ w ∈ ℝ) ∧ u ∈ ℕ) → ((norm ‘((F ‘u) −v z)) < w → (abs ‘((G ‘u) − (norm ‘(z −v A)))) < w))
51	50	syl3d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (((F ⇝v z ∧ w ∈ ℝ) ∧ u ∈ ℕ) → ((v ≤ u → (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w) → (v ≤ u → (abs ‘((G ‘u) − (norm ‘(z −v A)))) < w)))
52	51	r19.20dva 1256	. . . . . . 7 ⊢ ((F ⇝v z ∧ w ∈ ℝ) → (∀u ∈ ℕ (v ≤ u → (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w) → ∀u ∈ ℕ (v ≤ u → (abs ‘((G ‘u) − (norm ‘(z −v A)))) < w)))
53	52	r19.22sdv 1279	. . . . . 6 ⊢ ((F ⇝v z ∧ w ∈ ℝ) → (∃v ∈ ℕ ∀u ∈ ℕ (v ≤ u → (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w) → ∃v ∈ ℕ ∀u ∈ ℕ (v ≤ u → (abs ‘((G ‘u) − (norm ‘(z −v A)))) < w)))
54	53	syl3d 26	. . . . 5 ⊢ ((F ⇝v z ∧ w ∈ ℝ) → ((0 < w → ∃v ∈ ℕ ∀u ∈ ℕ (v ≤ u → (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w)) → (0 < w → ∃v ∈ ℕ ∀u ∈ ℕ (v ≤ u → (abs ‘((G ‘u) − (norm ‘(z −v A)))) < w))))
55	54	r19.20dva 1256	. . . 4 ⊢ (F ⇝v z → (∀w ∈ ℝ (0 < w → ∃v ∈ ℕ ∀u ∈ ℕ (v ≤ u → (norm ‘((F ‘u) −v z)) < w)) → ∀w ∈ ℝ (0 < w → ∃v ∈ ℕ ∀u ∈ ℕ (v ≤ u → (abs ‘((G ‘u) − (norm ‘(z −v A)))) < w))))
56	15, 55	mpd 46	. . 3 ⊢ (F ⇝v z → ∀w ∈ ℝ (0 < w → ∃v ∈ ℕ ∀u ∈ ℕ (v ≤ u → (abs ‘((G ‘u) − (norm ‘(z −v A)))) < w)))
57	14, 56	jca 236	. 2 ⊢ (F ⇝v z → ((G:ℕ–→ℂ ∧ (norm ‘(z −v A)) ∈ ℂ) ∧ ∀w ∈ ℝ (0 < w → ∃v ∈ ℕ ∀u ∈ ℕ (v ≤ u → (abs ‘((G ‘u) − (norm ‘(z −v A)))) < w))))
58		nnex 4431	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
59		moeq 1431	. . . . . 6 ⊢ ∃*y y = (norm ‘((F ‘x) −v A))
60	59	a1i 7	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℕ → ∃*y y = (norm ‘((F ‘x) −v A)))
61	58, 60	funopabex 2742	. . . 4 ⊢ {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℕ ∧ y = (norm ‘((F ‘x) −v A)))} ∈ V
62	4, 61	eqeltr 1159	. . 3 ⊢ G ∈ V
63		fvex 2838	. . 3 ⊢ (norm ‘(z −v A)) ∈ V
64	62, 63	clim 4877	. 2 ⊢ (G ⇝ (norm ‘(z −v A)) ↔ ((G:ℕ–→ℂ ∧ (norm ‘(z −v A)) ∈ ℂ) ∧ ∀w ∈ ℝ (0 < w → ∃v ∈ ℕ ∀u ∈ ℕ (v ≤ u → (abs ‘((G ‘u) − (norm ‘(z −v A)))) < w))))
65	57, 64	sylibr 175	1 ⊢ (F ⇝v z → G ⇝ (norm ‘(z −v A)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃*wmo 1008   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  {copab 2055  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028   < clt 4033   − cmin 4089   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  abscabs 4789   ⇝ cli 4875   ℋ chil 4958   −_v cmv 4962  normcno 4964   ⇝_v chli 4966

This theorem is referenced by:  projlem31 5223

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-hlim 5107

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