Theorem projlem26 5218

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. The real sequence G (Beran's "{||yn-x0||}") converges to the infimum of norms. Used by projlem31 5223.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem26.1	⊢ A ∈ ℋ
projlem26.2	⊢ H ∈ Cℋ
projlem26.3	⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
projlem26.4	⊢ R = -sup(S, ℝ, < )
projlem26.5	⊢ (φ ↔ (F:ℕ–→H ∧ ∀w ∈ ℕ ((R − (1 / w)) < (norm ‘((F ‘w) −v A)) ∧ (norm ‘((F ‘w) −v A)) < (R + (1 / w)))))
projlem26.6	⊢ G = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℕ ∧ y = (norm ‘((F ‘x) −v A)))}

Assertion

Ref	Expression
projlem26	⊢ (φ → G ⇝ R)

Distinct variable group(s):   w,u,v,x,y,A   w,F,x,y   w,R   φ,x   u,H,v

Proof of Theorem projlem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem26.5	. . . . . 6 ⊢ (φ ↔ (F:ℕ–→H ∧ ∀w ∈ ℕ ((R − (1 / w)) < (norm ‘((F ‘w) −v A)) ∧ (norm ‘((F ‘w) −v A)) < (R + (1 / w)))))
2	1	pm3.26bd 259	. . . . 5 ⊢ (φ → F:ℕ–→H)
3		projlem26.2	. . . . . . 7 ⊢ H ∈ Cℋ
4	3	chssi 5136	. . . . . 6 ⊢ H ⊆ ℋ
5		fss 2759	. . . . . 6 ⊢ ((F:ℕ–→H ∧ H ⊆ ℋ ) → F:ℕ–→ ℋ )
6	4, 5	mpan2 519	. . . . 5 ⊢ (F:ℕ–→H → F:ℕ–→ ℋ )
7		projlem26.6	. . . . . 6 ⊢ G = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℕ ∧ y = (norm ‘((F ‘x) −v A)))}
8		projlem26.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ ℋ
9	7, 8	projlem24 5216	. . . . 5 ⊢ (F:ℕ–→ ℋ → G:ℕ–→ℂ)
10	2, 6, 9	3syl 21	. . . 4 ⊢ (φ → G:ℕ–→ℂ)
11		projlem26.3	. . . . . 6 ⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
12		projlem26.4	. . . . . 6 ⊢ R = -sup(S, ℝ, < )
13	8, 3, 11, 12	projlem11 5203	. . . . 5 ⊢ R ∈ ℝ
14	13	recn 4098	. . . 4 ⊢ R ∈ ℂ
15	10, 14	jctir 241	. . 3 ⊢ (φ → (G:ℕ–→ℂ ∧ R ∈ ℂ))
16		redivclt 4276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) ∧ z ≠ 0) → (1 / z) ∈ ℝ)
17		pm3.26 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ 0 < z) → z ∈ ℝ)
18		ax1re 4064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	17, 18	jctil 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ 0 < z) → (1 ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ))
20		gt0ne0t 4346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z ∈ ℝ → (0 < z → z ≠ 0))
21	20	imp 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ 0 < z) → z ≠ 0)
22	16, 19, 21	sylanc 361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ 0 < z) → (1 / z) ∈ ℝ)
23		arch 4521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / z) ∈ ℝ → ∃f ∈ ℕ (1 / z) < f)
24	22, 23	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ 0 < z) → ∃f ∈ ℕ (1 / z) < f)
25		ltdiv23t 4419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ ∧ f ∈ ℝ) → ((0 < z ∧ 0 < f) → ((1 / z) < f ↔ (1 / f) < z)))
26	18, 25	mp3an1 639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ f ∈ ℝ) → ((0 < z ∧ 0 < f) → ((1 / z) < f ↔ (1 / f) < z)))
27		nnret 4427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f ∈ ℕ → f ∈ ℝ)
28	17, 27	anim12i 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ ℝ ∧ 0 < z) ∧ f ∈ ℕ) → (z ∈ ℝ ∧ f ∈ ℝ))
29		pm3.27 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ 0 < z) → 0 < z)
30		nngt0t 4441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f ∈ ℕ → 0 < f)
31	29, 30	anim12i 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ ℝ ∧ 0 < z) ∧ f ∈ ℕ) → (0 < z ∧ 0 < f))
32	26, 28, 31	sylc 62	. . . . . . . . 9 ⊢ (((z ∈ ℝ ∧ 0 < z) ∧ f ∈ ℕ) → ((1 / z) < f ↔ (1 / f) < z))
33	32	birexdva 1216	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ 0 < z) → (∃f ∈ ℕ (1 / z) < f ↔ ∃f ∈ ℕ (1 / f) < z))
34	24, 33	mpbid 170	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ 0 < z) → ∃f ∈ ℕ (1 / f) < z)
35	34	adantl 305	. . . . . 6 ⊢ ((φ ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) → ∃f ∈ ℕ (1 / f) < z)
36		lerect 4418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((f ∈ ℝ ∧ g ∈ ℝ) → ((0 < f ∧ 0 < g) → (f ≤ g ↔ (1 / g) ≤ (1 / f))))
37		nnret 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (g ∈ ℕ → g ∈ ℝ)
38	27, 37	anim12i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((f ∈ ℕ ∧ g ∈ ℕ) → (f ∈ ℝ ∧ g ∈ ℝ))
39		nngt0t 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (g ∈ ℕ → 0 < g)
40	30, 39	anim12i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((f ∈ ℕ ∧ g ∈ ℕ) → (0 < f ∧ 0 < g))
41	36, 38, 40	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((f ∈ ℕ ∧ g ∈ ℕ) → (f ≤ g ↔ (1 / g) ≤ (1 / f)))
42	41	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((g ∈ ℕ ∧ f ∈ ℕ) → (f ≤ g ↔ (1 / g) ≤ (1 / f)))
43	42	3adant3 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((g ∈ ℕ ∧ f ∈ ℕ ∧ z ∈ ℝ) → (f ≤ g ↔ (1 / g) ≤ (1 / f)))
44		lelttrt 4289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((1 / g) ∈ ℝ ∧ (1 / f) ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (((1 / g) ≤ (1 / f) ∧ (1 / f) < z) → (1 / g) < z))
45	44	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1 / g) ∈ ℝ ∧ (1 / f) ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((1 / g) ≤ (1 / f) → ((1 / f) < z → (1 / g) < z)))
46		redivclt 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ f ∈ ℝ) ∧ f ≠ 0) → (1 / f) ∈ ℝ)
47	27, 18	jctil 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (f ∈ ℕ → (1 ∈ ℝ ∧ f ∈ ℝ))
48		nnne0t 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (f ∈ ℕ → f ≠ 0)
49	46, 47, 48	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (f ∈ ℕ → (1 / f) ∈ ℝ)
50	45, 49	syl3an2 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((1 / g) ∈ ℝ ∧ f ∈ ℕ ∧ z ∈ ℝ) → ((1 / g) ≤ (1 / f) → ((1 / f) < z → (1 / g) < z)))
51		redivclt 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ g ∈ ℝ) ∧ g ≠ 0) → (1 / g) ∈ ℝ)
52	37, 18	jctil 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (g ∈ ℕ → (1 ∈ ℝ ∧ g ∈ ℝ))
53		nnne0t 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (g ∈ ℕ → g ≠ 0)
54	51, 52, 53	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (g ∈ ℕ → (1 / g) ∈ ℝ)
55	50, 54	syl3an1 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((g ∈ ℕ ∧ f ∈ ℕ ∧ z ∈ ℝ) → ((1 / g) ≤ (1 / f) → ((1 / f) < z → (1 / g) < z)))
56	43, 55	sylbid 178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((g ∈ ℕ ∧ f ∈ ℕ ∧ z ∈ ℝ) → (f ≤ g → ((1 / f) < z → (1 / g) < z)))
57	56	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((g ∈ ℕ ∧ f ∈ ℕ ∧ z ∈ ℝ) → ((1 / f) < z → (f ≤ g → (1 / g) < z)))
58	57	imp3a 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((g ∈ ℕ ∧ f ∈ ℕ ∧ z ∈ ℝ) → (((1 / f) < z ∧ f ≤ g) → (1 / g) < z))
59	58	3exp 611	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (g ∈ ℕ → (f ∈ ℕ → (z ∈ ℝ → (((1 / f) < z ∧ f ≤ g) → (1 / g) < z))))
60	59	com13 33	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ ℝ → (f ∈ ℕ → (g ∈ ℕ → (((1 / f) < z ∧ f ≤ g) → (1 / g) < z))))
61	60	ad2antrl 322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((φ ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) → (f ∈ ℕ → (g ∈ ℕ → (((1 / f) < z ∧ f ≤ g) → (1 / g) < z))))
62	61	imp31 280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((φ ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) ∧ f ∈ ℕ) ∧ g ∈ ℕ) → (((1 / f) < z ∧ f ≤ g) → (1 / g) < z))
63		axlttrn 4084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) ∈ ℝ ∧ (1 / g) ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (((abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < (1 / g) ∧ (1 / g) < z) → (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < z))
64	63	3expa 612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) ∈ ℝ ∧ (1 / g) ∈ ℝ) ∧ z ∈ ℝ) → (((abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < (1 / g) ∧ (1 / g) < z) → (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < z))
65	64	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) ∈ ℝ ∧ (1 / g) ∈ ℝ) ∧ z ∈ ℝ) → ((abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < (1 / g) → ((1 / g) < z → (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < z)))
66		ffvrn 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((F:ℕ–→H ∧ g ∈ ℕ) → (F ‘g) ∈ H)
67	66, 2	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → (F ‘g) ∈ H)
68	3	chel 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((F ‘g) ∈ H → (F ‘g) ∈ ℋ )
69	67, 68	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → (F ‘g) ∈ ℋ )
70	69, 8	jctir 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → ((F ‘g) ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ))
71		hvsubclt 4998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((F ‘g) ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → ((F ‘g) −v A) ∈ ℋ )
72		normclt 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((F ‘g) −v A) ∈ ℋ → (norm ‘((F ‘g) −v A)) ∈ ℝ)
73	70, 71, 72	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → (norm ‘((F ‘g) −v A)) ∈ ℝ)
74	73, 13	jctir 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → ((norm ‘((F ‘g) −v A)) ∈ ℝ ∧ R ∈ ℝ))
75		resubclt 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((norm ‘((F ‘g) −v A)) ∈ ℝ ∧ R ∈ ℝ) → ((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) ∈ ℝ)
76	74, 75	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → ((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) ∈ ℝ)
77	76	recnd 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → ((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) ∈ ℂ)
78		absclt 4848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) ∈ ℂ → (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) ∈ ℝ)
79	77, 78	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) ∈ ℝ)
80	54	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → (1 / g) ∈ ℝ)
81	79, 80	jca 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → ((abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) ∈ ℝ ∧ (1 / g) ∈ ℝ))
82	81, 17	anim12i 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((φ ∧ g ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) → (((abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) ∈ ℝ ∧ (1 / g) ∈ ℝ) ∧ z ∈ ℝ))
83	1	pm3.27bd 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (φ → ∀w ∈ ℕ ((R − (1 / w)) < (norm ‘((F ‘w) −v A)) ∧ (norm ‘((F ‘w) −v A)) < (R + (1 / w))))
84		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (w = g → (1 / w) = (1 / g))
85	84	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (w = g → (R − (1 / w)) = (R − (1 / g)))
86		fveq2 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (w = g → (F ‘w) = (F ‘g))
87	86	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (w = g → ((F ‘w) −v A) = ((F ‘g) −v A))
88	87	fveq2d 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (w = g → (norm ‘((F ‘w) −v A)) = (norm ‘((F ‘g) −v A)))
89	85, 88	breq12d 2073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (w = g → ((R − (1 / w)) < (norm ‘((F ‘w) −v A)) ↔ (R − (1 / g)) < (norm ‘((F ‘g) −v A))))
90	84	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (w = g → (R + (1 / w)) = (R + (1 / g)))
91	88, 90	breq12d 2073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (w = g → ((norm ‘((F ‘w) −v A)) < (R + (1 / w)) ↔ (norm ‘((F ‘g) −v A)) < (R + (1 / g))))
92	89, 91	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (w = g → (((R − (1 / w)) < (norm ‘((F ‘w) −v A)) ∧ (norm ‘((F ‘w) −v A)) < (R + (1 / w))) ↔ ((R − (1 / g)) < (norm ‘((F ‘g) −v A)) ∧ (norm ‘((F ‘g) −v A)) < (R + (1 / g)))))
93	92	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀w ∈ ℕ ((R − (1 / w)) < (norm ‘((F ‘w) −v A)) ∧ (norm ‘((F ‘w) −v A)) < (R + (1 / w))) → (g ∈ ℕ → ((R − (1 / g)) < (norm ‘((F ‘g) −v A)) ∧ (norm ‘((F ‘g) −v A)) < (R + (1 / g)))))
94	83, 93	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (φ → (g ∈ ℕ → ((R − (1 / g)) < (norm ‘((F ‘g) −v A)) ∧ (norm ‘((F ‘g) −v A)) < (R + (1 / g)))))
95	94	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → ((R − (1 / g)) < (norm ‘((F ‘g) −v A)) ∧ (norm ‘((F ‘g) −v A)) < (R + (1 / g))))
96	95	pm3.27d 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → (norm ‘((F ‘g) −v A)) < (R + (1 / g)))
97		ltsubadd2t 4354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((norm ‘((F ‘g) −v A)) ∈ ℝ ∧ R ∈ ℝ ∧ (1 / g) ∈ ℝ) → (((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) < (1 / g) ↔ (norm ‘((F ‘g) −v A)) < (R + (1 / g))))
98	13, 97	mp3an2 640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((norm ‘((F ‘g) −v A)) ∈ ℝ ∧ (1 / g) ∈ ℝ) → (((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) < (1 / g) ↔ (norm ‘((F ‘g) −v A)) < (R + (1 / g))))
99	98, 73, 80	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → (((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) < (1 / g) ↔ (norm ‘((F ‘g) −v A)) < (R + (1 / g))))
100	96, 99	mpbird 171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → ((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) < (1 / g))
101	73	recnd 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → (norm ‘((F ‘g) −v A)) ∈ ℂ)
102	101, 14	jctir 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → ((norm ‘((F ‘g) −v A)) ∈ ℂ ∧ R ∈ ℂ))
103		negdi3t 4202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((norm ‘((F ‘g) −v A)) ∈ ℂ ∧ R ∈ ℂ) → -((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) = (R − (norm ‘((F ‘g) −v A))))
104	102, 103	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → -((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) = (R − (norm ‘((F ‘g) −v A))))
105	95	pm3.26d 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → (R − (1 / g)) < (norm ‘((F ‘g) −v A)))
106		ltsub23t 4359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((R ∈ ℝ ∧ (norm ‘((F ‘g) −v A)) ∈ ℝ ∧ (1 / g) ∈ ℝ) → ((R − (norm ‘((F ‘g) −v A))) < (1 / g) ↔ (R − (1 / g)) < (norm ‘((F ‘g) −v A))))
107	13, 106	mp3an1 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((norm ‘((F ‘g) −v A)) ∈ ℝ ∧ (1 / g) ∈ ℝ) → ((R − (norm ‘((F ‘g) −v A))) < (1 / g) ↔ (R − (1 / g)) < (norm ‘((F ‘g) −v A))))
108	107, 73, 80	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → ((R − (norm ‘((F ‘g) −v A))) < (1 / g) ↔ (R − (1 / g)) < (norm ‘((F ‘g) −v A))))
109	105, 108	mpbird 171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → (R − (norm ‘((F ‘g) −v A))) < (1 / g))
110	104, 109	eqbrtrd 2077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → -((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) < (1 / g))
111	100, 110	jca 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → (((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) < (1 / g) ∧ -((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) < (1 / g)))
112		absltt 4857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) ∈ ℝ ∧ (1 / g) ∈ ℝ) → ((abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < (1 / g) ↔ (((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) < (1 / g) ∧ -((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) < (1 / g))))
113	112, 76, 80	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → ((abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < (1 / g) ↔ (((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) < (1 / g) ∧ -((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R) < (1 / g))))
114	111, 113	mpbird 171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((φ ∧ g ∈ ℕ) → (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < (1 / g))
115	114	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((φ ∧ g ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) → (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < (1 / g))
116	65, 82, 115	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((φ ∧ g ∈ ℕ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) → ((1 / g) < z → (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < z))
117	116	an1rs 373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((φ ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) ∧ g ∈ ℕ) → ((1 / g) < z → (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < z))
118	117	adantlr 310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((φ ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) ∧ f ∈ ℕ) ∧ g ∈ ℕ) → ((1 / g) < z → (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < z))
119	62, 118	syld 27	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((φ ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) ∧ f ∈ ℕ) ∧ g ∈ ℕ) → (((1 / f) < z ∧ f ≤ g) → (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < z))
120	7	projlem23 5215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (g ∈ ℕ → (G ‘g) = (norm ‘((F ‘g) −v A)))
121	120	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (g ∈ ℕ → ((G ‘g) − R) = ((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R))
122	121	fveq2d 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (g ∈ ℕ → (abs ‘((G ‘g) − R)) = (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)))
123	122	breq1d 2071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (g ∈ ℕ → ((abs ‘((G ‘g) − R)) < z ↔ (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < z))
124	123	adantl 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((φ ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) ∧ f ∈ ℕ) ∧ g ∈ ℕ) → ((abs ‘((G ‘g) − R)) < z ↔ (abs ‘((norm ‘((F ‘g) −v A)) − R)) < z))
125	119, 124	sylibrd 179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((φ ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) ∧ f ∈ ℕ) ∧ g ∈ ℕ) → (((1 / f) < z ∧ f ≤ g) → (abs ‘((G ‘g) − R)) < z))
126	125	exp4b 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((φ ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) ∧ f ∈ ℕ) → (g ∈ ℕ → ((1 / f) < z → (f ≤ g → (abs ‘((G ‘g) − R)) < z))))
127	126	com23 32	. . . . . . . 8 ⊢ (((φ ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) ∧ f ∈ ℕ) → ((1 / f) < z → (g ∈ ℕ → (f ≤ g → (abs ‘((G ‘g) − R)) < z))))
128	127	r19.21adv 1262	. . . . . . 7 ⊢ (((φ ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) ∧ f ∈ ℕ) → ((1 / f) < z → ∀g ∈ ℕ (f ≤ g → (abs ‘((G ‘g) − R)) < z)))
129	128	r19.22dva 1280	. . . . . 6 ⊢ ((φ ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) → (∃f ∈ ℕ (1 / f) < z → ∃f ∈ ℕ ∀g ∈ ℕ (f ≤ g → (abs ‘((G ‘g) − R)) < z)))
130	35, 129	mpd 46	. . . . 5 ⊢ ((φ ∧ (z ∈ ℝ ∧ 0 < z)) → ∃f ∈ ℕ ∀g ∈ ℕ (f ≤ g → (abs ‘((G ‘g) − R)) < z))
131	130	exp32 294	. . . 4 ⊢ (φ → (z ∈ ℝ → (0 < z → ∃f ∈ ℕ ∀g ∈ ℕ (f ≤ g → (abs ‘((G ‘g) − R)) < z))))
132	131	r19.21aiv 1259	. . 3 ⊢ (φ → ∀z ∈ ℝ (0 < z → ∃f ∈ ℕ ∀g ∈ ℕ (f ≤ g → (abs ‘((G ‘g) − R)) < z)))
133	15, 132	jca 236	. 2 ⊢ (φ → ((G:ℕ–→ℂ ∧ R ∈ ℂ) ∧ ∀z ∈ ℝ (0 < z → ∃f ∈ ℕ ∀g ∈ ℕ (f ≤ g → (abs ‘((G ‘g) − R)) < z))))
134		nnex 4431	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
135		moeq 1431	. . . . . 6 ⊢ ∃*y y = (norm ‘((F ‘x) −v A))
136	135	a1i 7	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℕ → ∃*y y = (norm ‘((F ‘x) −v A)))
137	134, 136	funopabex 2742	. . . 4 ⊢ {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℕ ∧ y = (norm ‘((F ‘x) −v A)))} ∈ V
138	7, 137	eqeltr 1159	. . 3 ⊢ G ∈ V
139	13	elisseti 1355	. . 3 ⊢ R ∈ V
140	138, 139	clim 4877	. 2 ⊢ (G ⇝ R ↔ ((G:ℕ–→ℂ ∧ R ∈ ℂ) ∧ ∀z ∈ ℝ (0 < z → ∃f ∈ ℕ ∀g ∈ ℕ (f ≤ g → (abs ‘((G ‘g) − R)) < z))))
141	133, 140	sylibr 175	1 ⊢ (φ → G ⇝ R)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = weq 797  ∃*wmo 1008   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  {crab 1204  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054  {copab 2055  supcsup 2060  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   − cmin 4089  -cneg 4090   / cdiv 4091   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  abscabs 4789   ⇝ cli 4875   ℋ chil 4958   −_v cmv 4962  normcno 4964   C_ℋ cch 4968

This theorem is referenced by:  projlem31 5223

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-sh 5114  df-ch 5127

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