Theorem projlem28 5220

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. Boundedness to show F is a Cauchy sequence. Used by projlem29 5221.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem27.1	⊢ A ∈ ℋ
projlem27.2	⊢ H ∈ Cℋ
projlem27.3	⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
projlem27.4	⊢ R = -sup(S, ℝ, < )
projlem27.5	⊢ (φ ↔ (F:ℕ–→H ∧ ∀w ∈ ℕ ((R − (1 / w)) < (norm ‘((F ‘w) −v A)) ∧ (norm ‘((F ‘w) −v A)) < (R + (1 / w)))))
projlem28.6	⊢ D ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
projlem28	⊢ (φ → (0 < D → ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D)))

Distinct variable group(s):   v,u,x,y,z,w,A   u,H,v,x,z   x,D,y,z,w   x,F,y,w,z   x,R,y,z,w   φ,x,y,z

Proof of Theorem projlem28

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z = if(z ∈ ℕ, z, 1) → (z ≤ x ↔ if(z ∈ ℕ, z, 1) ≤ x))
2		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z = if(z ∈ ℕ, z, 1) → (z ≤ y ↔ if(z ∈ ℕ, z, 1) ≤ y))
3	1, 2	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z = if(z ∈ ℕ, z, 1) → ((z ≤ x ∧ z ≤ y) ↔ (if(z ∈ ℕ, z, 1) ≤ x ∧ if(z ∈ ℕ, z, 1) ≤ y)))
4		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z = if(z ∈ ℕ, z, 1) → ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) = ((4 · ((2 · R) + 1)) / if(z ∈ ℕ, z, 1)))
5	4	fveq2d 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z = if(z ∈ ℕ, z, 1) → (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) = (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / if(z ∈ ℕ, z, 1))))
6	5	breq2d 2072	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z = if(z ∈ ℕ, z, 1) → ((norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ↔ (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / if(z ∈ ℕ, z, 1)))))
7	3, 6	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z = if(z ∈ ℕ, z, 1) → (((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z))) ↔ ((if(z ∈ ℕ, z, 1) ≤ x ∧ if(z ∈ ℕ, z, 1) ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / if(z ∈ ℕ, z, 1))))))
8	7	imbi2d 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z = if(z ∈ ℕ, z, 1) → (((φ ∧ (x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ)) → ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)))) ↔ ((φ ∧ (x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ)) → ((if(z ∈ ℕ, z, 1) ≤ x ∧ if(z ∈ ℕ, z, 1) ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / if(z ∈ ℕ, z, 1)))))))
9		projlem27.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ A ∈ ℋ
10		projlem27.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ H ∈ Cℋ
11		projlem27.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
12		projlem27.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ R = -sup(S, ℝ, < )
13		projlem27.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (φ ↔ (F:ℕ–→H ∧ ∀w ∈ ℕ ((R − (1 / w)) < (norm ‘((F ‘w) −v A)) ∧ (norm ‘((F ‘w) −v A)) < (R + (1 / w)))))
14		1nn 4432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	14	elimel 1793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if(z ∈ ℕ, z, 1) ∈ ℕ
16	9, 10, 11, 12, 13, 15	projlem27 5219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((φ ∧ (x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ)) → ((if(z ∈ ℕ, z, 1) ≤ x ∧ if(z ∈ ℕ, z, 1) ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / if(z ∈ ℕ, z, 1)))))
17	8, 16	dedth 1784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z ∈ ℕ → ((φ ∧ (x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ)) → ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)))))
18	17	exp3a 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z ∈ ℕ → (φ → ((x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z))))))
19	18	com12 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (φ → (z ∈ ℕ → ((x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z))))))
20	19	imp31 280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((φ ∧ z ∈ ℕ) ∧ (x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ)) → ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z))))
21	20	adantlr 310	. . . . . . . 8 ⊢ ((((φ ∧ z ∈ ℕ) ∧ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D) ∧ (x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ)) → ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z))))
22		projlem28.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ D ∈ ℝ
23		axlttrn 4084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) ∈ ℝ ∧ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∈ ℝ ∧ D ∈ ℝ) → (((norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∧ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D))
24	22, 23	mp3an3 641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) ∈ ℝ ∧ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∈ ℝ) → (((norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∧ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D))
25		hvsubclt 4998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((F ‘x) ∈ ℋ ∧ (F ‘y) ∈ ℋ ) → ((F ‘x) −v (F ‘y)) ∈ ℋ )
26	13	projlem21 5213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (φ → (x ∈ ℕ → (F ‘x) ∈ H))
27	26	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((φ ∧ x ∈ ℕ) → (F ‘x) ∈ H)
28	10	chel 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((F ‘x) ∈ H → (F ‘x) ∈ ℋ )
29	27, 28	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((φ ∧ x ∈ ℕ) → (F ‘x) ∈ ℋ )
30	13	projlem21 5213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (φ → (y ∈ ℕ → (F ‘y) ∈ H))
31	30	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((φ ∧ y ∈ ℕ) → (F ‘y) ∈ H)
32	10	chel 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((F ‘y) ∈ H → (F ‘y) ∈ ℋ )
33	31, 32	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((φ ∧ y ∈ ℕ) → (F ‘y) ∈ ℋ )
34	25, 29, 33	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((φ ∧ x ∈ ℕ) ∧ (φ ∧ y ∈ ℕ)) → ((F ‘x) −v (F ‘y)) ∈ ℋ )
35	34	anandis 394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((φ ∧ (x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ)) → ((F ‘x) −v (F ‘y)) ∈ ℋ )
36		normclt 5076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((F ‘x) −v (F ‘y)) ∈ ℋ → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) ∈ ℝ)
37	35, 36	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((φ ∧ (x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ)) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) ∈ ℝ)
38		sqrclt 4767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((4 · ((2 · R) + 1)) / z) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) → (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∈ ℝ)
39		redivclt 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((4 · ((2 · R) + 1)) ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) ∧ z ≠ 0) → ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) ∈ ℝ)
40		nnret 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (z ∈ ℕ → z ∈ ℝ)
41		4re 4473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ∈ ℝ
42		2re 4470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	9, 10, 11, 12	projlem11 5203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ R ∈ ℝ
44	42, 43	remulcl 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · R) ∈ ℝ
45		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
46	44, 45	readdcl 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · R) + 1) ∈ ℝ
47	41, 46	remulcl 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 · ((2 · R) + 1)) ∈ ℝ
48	40, 47	jctil 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ∈ ℕ → ((4 · ((2 · R) + 1)) ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ))
49		nnne0t 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ∈ ℕ → z ≠ 0)
50	39, 48, 49	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z ∈ ℕ → ((4 · ((2 · R) + 1)) / z) ∈ ℝ)
51		divge0t 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((4 · ((2 · R) + 1)) ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((0 ≤ (4 · ((2 · R) + 1)) ∧ 0 < z) → 0 ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z)))
52		nngt0t 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (z ∈ ℕ → 0 < z)
53		ax0re 4063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ∈ ℝ
54		4pos 4481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 4
55	53, 41, 54	ltlei 4303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ≤ 4
56		2pos 4479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < 2
57	53, 42, 56	ltlei 4303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ≤ 2
58	9, 10, 11, 12	projlem13 5205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ≤ R
59	42, 43	mulge0 4335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 ≤ R) → 0 ≤ (2 · R))
60	57, 58, 59	mp2an 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ (2 · R)
61		lt01 4377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 < 1
62	53, 45, 61	ltlei 4303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ 1
63	44, 45	addge0 4324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ≤ (2 · R) ∧ 0 ≤ 1) → 0 ≤ ((2 · R) + 1))
64	60, 62, 63	mp2an 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ≤ ((2 · R) + 1)
65	41, 46	mulge0 4335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ≤ 4 ∧ 0 ≤ ((2 · R) + 1)) → 0 ≤ (4 · ((2 · R) + 1)))
66	55, 64, 65	mp2an 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ (4 · ((2 · R) + 1))
67	52, 66	jctil 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ∈ ℕ → (0 ≤ (4 · ((2 · R) + 1)) ∧ 0 < z))
68	51, 48, 67	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z ∈ ℕ → 0 ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / z))
69	38, 50, 68	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z ∈ ℕ → (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∈ ℝ)
70	24, 37, 69	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((φ ∧ (x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ z ∈ ℕ) → (((norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) ∧ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D))
71	70	exp4b 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((φ ∧ (x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ)) → (z ∈ ℕ → ((norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) → ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D))))
72	71	com4r 41	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D → ((φ ∧ (x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ)) → (z ∈ ℕ → ((norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D))))
73	72	exp3a 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D → (φ → ((x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (z ∈ ℕ → ((norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D)))))
74	73	com4t 40	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (z ∈ ℕ → ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D → (φ → ((norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D)))))
75	74	com14 38	. . . . . . . . 9 ⊢ (φ → (z ∈ ℕ → ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D → ((x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D)))))
76	75	imp41 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((((φ ∧ z ∈ ℕ) ∧ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D) ∧ (x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ)) → ((norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D))
77	21, 76	syld 27	. . . . . . 7 ⊢ ((((φ ∧ z ∈ ℕ) ∧ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D) ∧ (x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ)) → ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D))
78	77	exp 291	. . . . . 6 ⊢ (((φ ∧ z ∈ ℕ) ∧ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D) → ((x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D)))
79	78	19.21aivv 944	. . . . 5 ⊢ (((φ ∧ z ∈ ℕ) ∧ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D) → ∀x∀y((x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D)))
80		r2al 1231	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D) ↔ ∀x∀y((x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D)))
81	79, 80	sylibr 175	. . . 4 ⊢ (((φ ∧ z ∈ ℕ) ∧ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D) → ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D))
82	81	exp 291	. . 3 ⊢ ((φ ∧ z ∈ ℕ) → ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D → ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D)))
83	82	r19.22dva 1280	. 2 ⊢ (φ → (∃z ∈ ℕ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D → ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D)))
84	43, 22, 58	projlem2 5194	. 2 ⊢ (0 < D → ∃z ∈ ℕ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / z)) < D)
85	83, 84	syl5 22	1 ⊢ (φ → (0 < D → ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < D)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  {crab 1204  ifcif 1776   class class class wbr 2054  supcsup 2060  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   − cmin 4089  -cneg 4090   / cdiv 4091   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  2c2 4454  4c4 4456  √csqr 4727   ℋ chil 4958   −_v cmv 4962  normcno 4964   C_ℋ cch 4968

This theorem is referenced by:  projlem29 5221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org