Theorem projlem29 5221

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101: 'Hence, {yn} is a Cauchy sequence.' Used by projlem30 5222.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem27.1	⊢ A ∈ ℋ
projlem27.2	⊢ H ∈ Cℋ
projlem27.3	⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
projlem27.4	⊢ R = -sup(S, ℝ, < )
projlem27.5	⊢ (φ ↔ (F:ℕ–→H ∧ ∀w ∈ ℕ ((R − (1 / w)) < (norm ‘((F ‘w) −v A)) ∧ (norm ‘((F ‘w) −v A)) < (R + (1 / w)))))

Assertion

Ref	Expression
projlem29	⊢ (φ → F ∈ Cauchy)

Distinct variable group(s):   v,u,w,A   u,H,v   w,F   w,R

Proof of Theorem projlem29

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem27.5	. . . . . 6 ⊢ (φ ↔ (F:ℕ–→H ∧ ∀w ∈ ℕ ((R − (1 / w)) < (norm ‘((F ‘w) −v A)) ∧ (norm ‘((F ‘w) −v A)) < (R + (1 / w)))))
2	1	pm3.26bd 259	. . . . 5 ⊢ (φ → F:ℕ–→H)
3		projlem27.2	. . . . . 6 ⊢ H ∈ Cℋ
4	3	chssi 5136	. . . . 5 ⊢ H ⊆ ℋ
5	2, 4	jctir 241	. . . 4 ⊢ (φ → (F:ℕ–→H ∧ H ⊆ ℋ ))
6		fss 2759	. . . 4 ⊢ ((F:ℕ–→H ∧ H ⊆ ℋ ) → F:ℕ–→ ℋ )
7	5, 6	syl 12	. . 3 ⊢ (φ → F:ℕ–→ ℋ )
8		breq2 2066	. . . . . . . 8 ⊢ (g = if(g ∈ ℝ, g, 1) → (0 < g ↔ 0 < if(g ∈ ℝ, g, 1)))
9		breq2 2066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (g = if(g ∈ ℝ, g, 1) → ((norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < g ↔ (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < if(g ∈ ℝ, g, 1)))
10	9	imbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (g = if(g ∈ ℝ, g, 1) → (((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < g) ↔ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < if(g ∈ ℝ, g, 1))))
11	10	biraldv 1219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (g = if(g ∈ ℝ, g, 1) → (∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < g) ↔ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < if(g ∈ ℝ, g, 1))))
12	11	biraldv 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ (g = if(g ∈ ℝ, g, 1) → (∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < g) ↔ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < if(g ∈ ℝ, g, 1))))
13	12	birexdv 1220	. . . . . . . 8 ⊢ (g = if(g ∈ ℝ, g, 1) → (∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < g) ↔ ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < if(g ∈ ℝ, g, 1))))
14	8, 13	imbi12d 474	. . . . . . 7 ⊢ (g = if(g ∈ ℝ, g, 1) → ((0 < g → ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < g)) ↔ (0 < if(g ∈ ℝ, g, 1) → ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < if(g ∈ ℝ, g, 1)))))
15	14	imbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (g = if(g ∈ ℝ, g, 1) → ((φ → (0 < g → ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < g))) ↔ (φ → (0 < if(g ∈ ℝ, g, 1) → ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < if(g ∈ ℝ, g, 1))))))
16		projlem27.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℋ
17		projlem27.3	. . . . . . 7 ⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(norm ‘(v −v A))}
18		projlem27.4	. . . . . . 7 ⊢ R = -sup(S, ℝ, < )
19		ax1re 4064	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
20	19	elimel 1793	. . . . . . 7 ⊢ if(g ∈ ℝ, g, 1) ∈ ℝ
21	16, 3, 17, 18, 1, 20	projlem28 5220	. . . . . 6 ⊢ (φ → (0 < if(g ∈ ℝ, g, 1) → ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < if(g ∈ ℝ, g, 1))))
22	15, 21	dedth 1784	. . . . 5 ⊢ (g ∈ ℝ → (φ → (0 < g → ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < g))))
23	22	com12 13	. . . 4 ⊢ (φ → (g ∈ ℝ → (0 < g → ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < g))))
24	23	r19.21aiv 1259	. . 3 ⊢ (φ → ∀g ∈ ℝ (0 < g → ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < g)))
25	7, 24	jca 236	. 2 ⊢ (φ → (F:ℕ–→ ℋ ∧ ∀g ∈ ℝ (0 < g → ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < g))))
26		hcauchy 5103	. 2 ⊢ (F ∈ Cauchy ↔ (F:ℕ–→ ℋ ∧ ∀g ∈ ℝ (0 < g → ∃z ∈ ℕ ∀x ∈ ℕ ∀y ∈ ℕ ((z ≤ x ∧ z ≤ y) → (norm ‘((F ‘x) −v (F ‘y))) < g))))
27	25, 26	sylibr 175	1 ⊢ (φ → F ∈ Cauchy)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  {crab 1204   ⊆ wss 1487  ifcif 1776   class class class wbr 2054  supcsup 2060  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   − cmin 4089  -cneg 4090   / cdiv 4091   ≤ cle 4092  ℕcn 4093   ℋ chil 4958   −_v cmv 4962  normcno 4964  Cauchyccau 4965   C_ℋ cch 4968

This theorem is referenced by:  projlem30 5222

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org