Theorem projlem4 5196

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101, top. Used by projlem6 5198.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem4.1	⊢ R ∈ ℝ
projlem4.2	⊢ 0 ≤ R
projlem4.3	⊢ D ∈ ℕ
projlem4.4	⊢ G ∈ ℕ
projlem4.5	⊢ B ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
projlem4	⊢ ((B ≤ D ∧ B ≤ G) → (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / B))

Proof of Theorem projlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1re 4064	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		projlem4.3	. . . . . 6 ⊢ D ∈ ℕ
3	2	nnre 4429	. . . . 5 ⊢ D ∈ ℝ
4	2	nnne0 4446	. . . . 5 ⊢ D ≠ 0
5	1, 3, 4	redivcl 4274	. . . 4 ⊢ (1 / D) ∈ ℝ
6		projlem4.4	. . . . . 6 ⊢ G ∈ ℕ
7	6	nnre 4429	. . . . 5 ⊢ G ∈ ℝ
8	6	nnne0 4446	. . . . 5 ⊢ G ≠ 0
9	1, 7, 8	redivcl 4274	. . . 4 ⊢ (1 / G) ∈ ℝ
10		projlem4.5	. . . . . 6 ⊢ B ∈ ℕ
11	10	nnre 4429	. . . . 5 ⊢ B ∈ ℝ
12	10	nnne0 4446	. . . . 5 ⊢ B ≠ 0
13	1, 11, 12	redivcl 4274	. . . 4 ⊢ (1 / B) ∈ ℝ
14	5, 9, 13, 13	le2add 4322	. . 3 ⊢ (((1 / D) ≤ (1 / B) ∧ (1 / G) ≤ (1 / B)) → ((1 / D) + (1 / G)) ≤ ((1 / B) + (1 / B)))
15	10	nngt0 4445	. . . 4 ⊢ 0 < B
16	2	nngt0 4445	. . . 4 ⊢ 0 < D
17	11, 3	lerec 4411	. . . 4 ⊢ ((0 < B ∧ 0 < D) → (B ≤ D ↔ (1 / D) ≤ (1 / B)))
18	15, 16, 17	mp2an 520	. . 3 ⊢ (B ≤ D ↔ (1 / D) ≤ (1 / B))
19	6	nngt0 4445	. . . 4 ⊢ 0 < G
20	11, 7	lerec 4411	. . . 4 ⊢ ((0 < B ∧ 0 < G) → (B ≤ G ↔ (1 / G) ≤ (1 / B)))
21	15, 19, 20	mp2an 520	. . 3 ⊢ (B ≤ G ↔ (1 / G) ≤ (1 / B))
22	14, 18, 21	syl2anb 350	. 2 ⊢ ((B ≤ D ∧ B ≤ G) → ((1 / D) + (1 / G)) ≤ ((1 / B) + (1 / B)))
23		2t2e4 4503	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
24	23	opreq1i 3009	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) · ((2 · R) + 1)) = (4 · ((2 · R) + 1))
25		2cn 4471	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
26		2re 4470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
27		projlem4.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ R ∈ ℝ
28	26, 27	remulcl 4119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · R) ∈ ℝ
29	28, 1	readdcl 4118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · R) + 1) ∈ ℝ
30	29	recn 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · R) + 1) ∈ ℂ
31	25, 25, 30	mul23 4179	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) · ((2 · R) + 1)) = ((2 · ((2 · R) + 1)) · 2)
32	24, 31	eqtr3 1121	. . . . . . 7 ⊢ (4 · ((2 · R) + 1)) = ((2 · ((2 · R) + 1)) · 2)
33	28	recn 4098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · R) ∈ ℂ
34		1cn 4101	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
35	25, 33, 34	adddi 4110	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ((2 · R) + 1)) = ((2 · (2 · R)) + (2 · 1))
36	27	recn 4098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ R ∈ ℂ
37	25, 25, 36	mulass 4109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · R) = (2 · (2 · R))
38	23	opreq1i 3009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · R) = (4 · R)
39	37, 38	eqtr3 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (2 · R)) = (4 · R)
40	25	mulid1 4114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
41	39, 40	opreq12i 3011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (2 · R)) + (2 · 1)) = ((4 · R) + 2)
42	35, 41	eqtr2 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · R) + 2) = (2 · ((2 · R) + 1))
43	42, 40	opreq12i 3011	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · R) + 2) · (2 · 1)) = ((2 · ((2 · R) + 1)) · 2)
44	32, 43	eqtr4 1122	. . . . . 6 ⊢ (4 · ((2 · R) + 1)) = (((4 · R) + 2) · (2 · 1))
45	44	opreq1i 3009	. . . . 5 ⊢ ((4 · ((2 · R) + 1)) / B) = ((((4 · R) + 2) · (2 · 1)) / B)
46		4re 4473	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
47	46, 27	remulcl 4119	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · R) ∈ ℝ
48	47, 26	readdcl 4118	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · R) + 2) ∈ ℝ
49	48	recn 4098	. . . . . 6 ⊢ ((4 · R) + 2) ∈ ℂ
50	25, 34	mulcl 4105	. . . . . 6 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
51	10	nncn 4430	. . . . . 6 ⊢ B ∈ ℂ
52	49, 50, 51, 12	divass 4242	. . . . 5 ⊢ ((((4 · R) + 2) · (2 · 1)) / B) = (((4 · R) + 2) · ((2 · 1) / B))
53	25, 34, 51, 12	divass 4242	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / B) = (2 · (1 / B))
54	13	recn 4098	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / B) ∈ ℂ
55	54	2times 4489	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (1 / B)) = ((1 / B) + (1 / B))
56	53, 55	eqtr 1119	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) / B) = ((1 / B) + (1 / B))
57	56	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ (((4 · R) + 2) · ((2 · 1) / B)) = (((4 · R) + 2) · ((1 / B) + (1 / B)))
58	45, 52, 57	3eqtr 1123	. . . 4 ⊢ ((4 · ((2 · R) + 1)) / B) = (((4 · R) + 2) · ((1 / B) + (1 / B)))
59	58	breq2i 2069	. . 3 ⊢ ((((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / B) ↔ (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ (((4 · R) + 2) · ((1 / B) + (1 / B))))
60		ax0re 4063	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		4pos 4481	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
62	60, 46, 61	ltlei 4303	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 4
63		projlem4.2	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ R
64	46, 27	mulge0 4335	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 4 ∧ 0 ≤ R) → 0 ≤ (4 · R))
65	62, 63, 64	mp2an 520	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (4 · R)
66		2pos 4479	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
67	47, 26	addgegt0 4325	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (4 · R) ∧ 0 < 2) → 0 < ((4 · R) + 2))
68	65, 66, 67	mp2an 520	. . . 4 ⊢ 0 < ((4 · R) + 2)
69	5, 9	readdcl 4118	. . . . 5 ⊢ ((1 / D) + (1 / G)) ∈ ℝ
70	13, 13	readdcl 4118	. . . . 5 ⊢ ((1 / B) + (1 / B)) ∈ ℝ
71	69, 70, 48	lemul2 4396	. . . 4 ⊢ (0 < ((4 · R) + 2) → (((1 / D) + (1 / G)) ≤ ((1 / B) + (1 / B)) ↔ (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ (((4 · R) + 2) · ((1 / B) + (1 / B)))))
72	68, 71	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (((1 / D) + (1 / G)) ≤ ((1 / B) + (1 / B)) ↔ (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ (((4 · R) + 2) · ((1 / B) + (1 / B))))
73	59, 72	bitr4 154	. 2 ⊢ ((((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / B) ↔ ((1 / D) + (1 / G)) ≤ ((1 / B) + (1 / B)))
74	22, 73	sylibr 175	1 ⊢ ((B ≤ D ∧ B ≤ G) → (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   / cdiv 4091   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  2c2 4454  4c4 4456

This theorem is referenced by:  projlem6 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464

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