Theorem projlem5 5197

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100, bottom. Used by projlem6 5198.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem5.1	⊢ A ∈ ℋ
projlem5.2	⊢ B ∈ ℋ
projlem5.3	⊢ C ∈ ℋ
projlem5.4	⊢ R ∈ ℝ
projlem5.5	⊢ 0 ≤ R
projlem5.6	⊢ (4 · (R↑2)) ≤ ((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)
projlem5.7	⊢ D ∈ ℕ
projlem5.8	⊢ G ∈ ℕ
projlem5.9	⊢ N ∈ ℕ
projlem5.10	⊢ (norm ‘(B −v A)) < (R + (1 / D))
projlem5.11	⊢ (norm ‘(C −v A)) < (R + (1 / G))

Assertion

Ref	Expression
projlem5	⊢ ((norm ‘(B −v C))↑2) < (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) − (4 · (R↑2)))

Proof of Theorem projlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem5.2	. . 3 ⊢ B ∈ ℋ
2		projlem5.3	. . 3 ⊢ C ∈ ℋ
3		projlem5.1	. . 3 ⊢ A ∈ ℋ
4	1, 2, 3	normpar2 5100	. 2 ⊢ ((norm ‘(B −v C))↑2) = (((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) − ((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2))
5		projlem5.10	. . . . . . . 8 ⊢ (norm ‘(B −v A)) < (R + (1 / D))
6	1, 3	hvsubcl 5002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B −v A) ∈ ℋ
7		normge0t 5077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B −v A) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘(B −v A)))
8	6, 7	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (norm ‘(B −v A))
9		projlem5.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ R
10		ax0re 4063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		projlem5.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ D ∈ ℕ
13	12	nnre 4429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ D ∈ ℝ
14	12	nnne0 4446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ D ≠ 0
15	11, 13, 14	redivcl 4274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / D) ∈ ℝ
16		nnrecgt0t 4447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (D ∈ ℕ → 0 < (1 / D))
17	12, 16	ax-mp 6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (1 / D)
18	10, 15, 17	ltlei 4303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / D)
19		projlem5.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ R ∈ ℝ
20	19, 15	addge0 4324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ R ∧ 0 ≤ (1 / D)) → 0 ≤ (R + (1 / D)))
21	9, 18, 20	mp2an 520	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (R + (1 / D))
22	6	normcl 5081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm ‘(B −v A)) ∈ ℝ
23	19, 15	readdcl 4118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (R + (1 / D)) ∈ ℝ
24	22, 23	lt2sqe 4700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ (norm ‘(B −v A)) ∧ 0 ≤ (R + (1 / D))) → ((norm ‘(B −v A)) < (R + (1 / D)) ↔ ((norm ‘(B −v A))↑2) < ((R + (1 / D))↑2)))
25	8, 21, 24	mp2an 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((norm ‘(B −v A)) < (R + (1 / D)) ↔ ((norm ‘(B −v A))↑2) < ((R + (1 / D))↑2))
26	5, 25	mpbi 164	. . . . . . 7 ⊢ ((norm ‘(B −v A))↑2) < ((R + (1 / D))↑2)
27		2pos 4479	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
28	22	sqrecl 4699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((norm ‘(B −v A))↑2) ∈ ℝ
29	23	sqrecl 4699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((R + (1 / D))↑2) ∈ ℝ
30		2re 4470	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
31	28, 29, 30	ltmul2 4395	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((norm ‘(B −v A))↑2) < ((R + (1 / D))↑2) ↔ (2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) < (2 · ((R + (1 / D))↑2))))
32	27, 31	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ (((norm ‘(B −v A))↑2) < ((R + (1 / D))↑2) ↔ (2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) < (2 · ((R + (1 / D))↑2)))
33	26, 32	mpbi 164	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) < (2 · ((R + (1 / D))↑2))
34		projlem5.11	. . . . . . . 8 ⊢ (norm ‘(C −v A)) < (R + (1 / G))
35	2, 3	hvsubcl 5002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (C −v A) ∈ ℋ
36		normge0t 5077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C −v A) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘(C −v A)))
37	35, 36	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (norm ‘(C −v A))
38		projlem5.8	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ G ∈ ℕ
39	38	nnre 4429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ G ∈ ℝ
40	38	nnne0 4446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ G ≠ 0
41	11, 39, 40	redivcl 4274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / G) ∈ ℝ
42		nnrecgt0t 4447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (G ∈ ℕ → 0 < (1 / G))
43	38, 42	ax-mp 6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (1 / G)
44	10, 41, 43	ltlei 4303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / G)
45	19, 41	addge0 4324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ R ∧ 0 ≤ (1 / G)) → 0 ≤ (R + (1 / G)))
46	9, 44, 45	mp2an 520	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (R + (1 / G))
47	35	normcl 5081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm ‘(C −v A)) ∈ ℝ
48	19, 41	readdcl 4118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (R + (1 / G)) ∈ ℝ
49	47, 48	lt2sqe 4700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ (norm ‘(C −v A)) ∧ 0 ≤ (R + (1 / G))) → ((norm ‘(C −v A)) < (R + (1 / G)) ↔ ((norm ‘(C −v A))↑2) < ((R + (1 / G))↑2)))
50	37, 46, 49	mp2an 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((norm ‘(C −v A)) < (R + (1 / G)) ↔ ((norm ‘(C −v A))↑2) < ((R + (1 / G))↑2))
51	34, 50	mpbi 164	. . . . . . 7 ⊢ ((norm ‘(C −v A))↑2) < ((R + (1 / G))↑2)
52	47	sqrecl 4699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((norm ‘(C −v A))↑2) ∈ ℝ
53	48	sqrecl 4699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((R + (1 / G))↑2) ∈ ℝ
54	52, 53, 30	ltmul2 4395	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((norm ‘(C −v A))↑2) < ((R + (1 / G))↑2) ↔ (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2)) < (2 · ((R + (1 / G))↑2))))
55	27, 54	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ (((norm ‘(C −v A))↑2) < ((R + (1 / G))↑2) ↔ (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2)) < (2 · ((R + (1 / G))↑2)))
56	51, 55	mpbi 164	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2)) < (2 · ((R + (1 / G))↑2))
57	30, 28	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) ∈ ℝ
58	30, 52	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2)) ∈ ℝ
59	30, 29	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((R + (1 / D))↑2)) ∈ ℝ
60	30, 53	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((R + (1 / G))↑2)) ∈ ℝ
61	57, 58, 59, 60	lt2add 4321	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) < (2 · ((R + (1 / D))↑2)) ∧ (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2)) < (2 · ((R + (1 / G))↑2))) → ((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) < ((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))))
62	33, 56, 61	mp2an 520	. . . . 5 ⊢ ((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) < ((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2)))
63	57, 58	readdcl 4118	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) ∈ ℝ
64	59, 60	readdcl 4118	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) ∈ ℝ
65	1, 2	hvaddcl 4999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B +v C) ∈ ℋ
66		2cn 4471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
67	66, 3	hvmulcl 4990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ·s A) ∈ ℋ
68	65, 67	hvsubcl 5002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B +v C) −v (2 ·s A)) ∈ ℋ
69	68	normcl 5081	. . . . . . . 8 ⊢ (norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A))) ∈ ℝ
70	69	sqrecl 4699	. . . . . . 7 ⊢ ((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2) ∈ ℝ
71	70	renegcl 4171	. . . . . 6 ⊢ -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2) ∈ ℝ
72	63, 64, 71	ltadd1 4313	. . . . 5 ⊢ (((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) < ((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) ↔ (((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)) < (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)))
73	62, 72	mpbi 164	. . . 4 ⊢ (((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)) < (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2))
74		projlem5.6	. . . . . 6 ⊢ (4 · (R↑2)) ≤ ((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)
75		4re 4473	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
76	19	sqrecl 4699	. . . . . . . 8 ⊢ (R↑2) ∈ ℝ
77	75, 76	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ (4 · (R↑2)) ∈ ℝ
78	77, 70	leneg 4331	. . . . . 6 ⊢ ((4 · (R↑2)) ≤ ((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2) ↔ -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2) ≤ -(4 · (R↑2)))
79	74, 78	mpbi 164	. . . . 5 ⊢ -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2) ≤ -(4 · (R↑2))
80	77	renegcl 4171	. . . . . 6 ⊢ -(4 · (R↑2)) ∈ ℝ
81	71, 80, 64	leadd2 4315	. . . . 5 ⊢ (-((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2) ≤ -(4 · (R↑2)) ↔ (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)) ≤ (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -(4 · (R↑2))))
82	79, 81	mpbi 164	. . . 4 ⊢ (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)) ≤ (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -(4 · (R↑2)))
83	63, 71	readdcl 4118	. . . . 5 ⊢ (((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)) ∈ ℝ
84	64, 71	readdcl 4118	. . . . 5 ⊢ (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)) ∈ ℝ
85	64, 80	readdcl 4118	. . . . 5 ⊢ (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -(4 · (R↑2))) ∈ ℝ
86	83, 84, 85	ltletr 4309	. . . 4 ⊢ (((((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)) < (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)) ∧ (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)) ≤ (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -(4 · (R↑2)))) → (((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)) < (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -(4 · (R↑2))))
87	73, 82, 86	mp2an 520	. . 3 ⊢ (((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)) < (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -(4 · (R↑2)))
88	63	recn 4098	. . . 4 ⊢ ((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) ∈ ℂ
89	70	recn 4098	. . . 4 ⊢ ((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2) ∈ ℂ
90	88, 89	subneg 4148	. . 3 ⊢ (((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) − ((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)) = (((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) + -((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2))
91	64	recn 4098	. . . 4 ⊢ ((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) ∈ ℂ
92	77	recn 4098	. . . 4 ⊢ (4 · (R↑2)) ∈ ℂ
93	91, 92	subneg 4148	. . 3 ⊢ (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) − (4 · (R↑2))) = (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) + -(4 · (R↑2)))
94	87, 90, 93	3brtr4 2085	. 2 ⊢ (((2 · ((norm ‘(B −v A))↑2)) + (2 · ((norm ‘(C −v A))↑2))) − ((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)) < (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) − (4 · (R↑2)))
95	4, 94	eqbrtr 2076	1 ⊢ ((norm ‘(B −v C))↑2) < (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) − (4 · (R↑2)))

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   − cmin 4089  -cneg 4090   / cdiv 4091   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  2c2 4454  4c4 4456  ↑cexp 4675   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_s csm 4960   −_v cmv 4962  normcno 4964

This theorem is referenced by:  projlem6 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074

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