Theorem projlem6 5198

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. Used by projlem7 5199.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem5.1	⊢ A ∈ ℋ
projlem5.2	⊢ B ∈ ℋ
projlem5.3	⊢ C ∈ ℋ
projlem5.4	⊢ R ∈ ℝ
projlem5.5	⊢ 0 ≤ R
projlem5.6	⊢ (4 · (R↑2)) ≤ ((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)
projlem5.7	⊢ D ∈ ℕ
projlem5.8	⊢ G ∈ ℕ
projlem5.9	⊢ N ∈ ℕ
projlem5.10	⊢ (norm ‘(B −v A)) < (R + (1 / D))
projlem5.11	⊢ (norm ‘(C −v A)) < (R + (1 / G))

Assertion

Ref	Expression
projlem6	⊢ ((N ≤ D ∧ N ≤ G) → (norm ‘(B −v C)) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N)))

Proof of Theorem projlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem5.4	. . . . 5 ⊢ R ∈ ℝ
2		projlem5.5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ R
3		projlem5.7	. . . . 5 ⊢ D ∈ ℕ
4		projlem5.8	. . . . 5 ⊢ G ∈ ℕ
5		projlem5.9	. . . . 5 ⊢ N ∈ ℕ
6	1, 2, 3, 4, 5	projlem4 5196	. . . 4 ⊢ ((N ≤ D ∧ N ≤ G) → (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / N))
7		projlem5.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℋ
8		projlem5.2	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ ℋ
9		projlem5.3	. . . . . . 7 ⊢ C ∈ ℋ
10		projlem5.6	. . . . . . 7 ⊢ (4 · (R↑2)) ≤ ((norm ‘((B +v C) −v (2 ·s A)))↑2)
11		projlem5.10	. . . . . . 7 ⊢ (norm ‘(B −v A)) < (R + (1 / D))
12		projlem5.11	. . . . . . 7 ⊢ (norm ‘(C −v A)) < (R + (1 / G))
13	7, 8, 9, 1, 2, 10, 3, 4, 3, 11, 12	projlem5 5197	. . . . . 6 ⊢ ((norm ‘(B −v C))↑2) < (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) − (4 · (R↑2)))
14	1, 3, 4	projlem3 5195	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) − (4 · (R↑2))) ≤ (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G)))
15	8, 9	hvsubcl 5002	. . . . . . . . 9 ⊢ (B −v C) ∈ ℋ
16	15	normcl 5081	. . . . . . . 8 ⊢ (norm ‘(B −v C)) ∈ ℝ
17	16	sqrecl 4699	. . . . . . 7 ⊢ ((norm ‘(B −v C))↑2) ∈ ℝ
18		2re 4470	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
19		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
20	3	nnre 4429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ D ∈ ℝ
21	3	nnne0 4446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ D ≠ 0
22	19, 20, 21	redivcl 4274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / D) ∈ ℝ
23	1, 22	readdcl 4118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (R + (1 / D)) ∈ ℝ
24	23	sqrecl 4699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((R + (1 / D))↑2) ∈ ℝ
25	18, 24	remulcl 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ((R + (1 / D))↑2)) ∈ ℝ
26	4	nnre 4429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ G ∈ ℝ
27	4	nnne0 4446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ G ≠ 0
28	19, 26, 27	redivcl 4274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / G) ∈ ℝ
29	1, 28	readdcl 4118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (R + (1 / G)) ∈ ℝ
30	29	sqrecl 4699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((R + (1 / G))↑2) ∈ ℝ
31	18, 30	remulcl 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ((R + (1 / G))↑2)) ∈ ℝ
32	25, 31	readdcl 4118	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) ∈ ℝ
33		4re 4473	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
34	1	sqrecl 4699	. . . . . . . . 9 ⊢ (R↑2) ∈ ℝ
35	33, 34	remulcl 4119	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · (R↑2)) ∈ ℝ
36	32, 35	resubcl 4174	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) − (4 · (R↑2))) ∈ ℝ
37	33, 1	remulcl 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · R) ∈ ℝ
38	37, 18	readdcl 4118	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · R) + 2) ∈ ℝ
39	22, 28	readdcl 4118	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / D) + (1 / G)) ∈ ℝ
40	38, 39	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ∈ ℝ
41	17, 36, 40	ltletr 4309	. . . . . 6 ⊢ ((((norm ‘(B −v C))↑2) < (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) − (4 · (R↑2))) ∧ (((2 · ((R + (1 / D))↑2)) + (2 · ((R + (1 / G))↑2))) − (4 · (R↑2))) ≤ (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G)))) → ((norm ‘(B −v C))↑2) < (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))))
42	13, 14, 41	mp2an 520	. . . . 5 ⊢ ((norm ‘(B −v C))↑2) < (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G)))
43	18, 1	remulcl 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · R) ∈ ℝ
44	43, 19	readdcl 4118	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · R) + 1) ∈ ℝ
45	33, 44	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ (4 · ((2 · R) + 1)) ∈ ℝ
46	5	nnre 4429	. . . . . . 7 ⊢ N ∈ ℝ
47	5	nnne0 4446	. . . . . . 7 ⊢ N ≠ 0
48	45, 46, 47	redivcl 4274	. . . . . 6 ⊢ ((4 · ((2 · R) + 1)) / N) ∈ ℝ
49	17, 40, 48	ltletr 4309	. . . . 5 ⊢ ((((norm ‘(B −v C))↑2) < (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ∧ (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / N)) → ((norm ‘(B −v C))↑2) < ((4 · ((2 · R) + 1)) / N))
50	42, 49	mpan 518	. . . 4 ⊢ ((((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / N) → ((norm ‘(B −v C))↑2) < ((4 · ((2 · R) + 1)) / N))
51	6, 50	syl 12	. . 3 ⊢ ((N ≤ D ∧ N ≤ G) → ((norm ‘(B −v C))↑2) < ((4 · ((2 · R) + 1)) / N))
52		ax0re 4063	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
53		4pos 4481	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
54		2pos 4479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
55	52, 18, 54	ltlei 4303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
56	18, 1	mulge0 4335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 ≤ R) → 0 ≤ (2 · R))
57	55, 2, 56	mp2an 520	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (2 · R)
58		lt01 4377	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
59	43, 19	addgegt0 4325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ (2 · R) ∧ 0 < 1) → 0 < ((2 · R) + 1))
60	57, 58, 59	mp2an 520	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ((2 · R) + 1)
61	33, 44, 53, 60	mulgt0i 4336	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (4 · ((2 · R) + 1))
62	5	nngt0 4445	. . . . . . 7 ⊢ 0 < N
63	45, 46, 61, 62	divgt0i 4391	. . . . . 6 ⊢ 0 < ((4 · ((2 · R) + 1)) / N)
64	52, 48, 63	ltlei 4303	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / N)
65	48	sqsqr 4775	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / N) → ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N))↑2) = ((4 · ((2 · R) + 1)) / N))
66	64, 65	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N))↑2) = ((4 · ((2 · R) + 1)) / N)
67	66	breq2i 2069	. . 3 ⊢ (((norm ‘(B −v C))↑2) < ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N))↑2) ↔ ((norm ‘(B −v C))↑2) < ((4 · ((2 · R) + 1)) / N))
68	51, 67	sylibr 175	. 2 ⊢ ((N ≤ D ∧ N ≤ G) → ((norm ‘(B −v C))↑2) < ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N))↑2))
69		normge0t 5077	. . . 4 ⊢ ((B −v C) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘(B −v C)))
70	15, 69	ax-mp 6	. . 3 ⊢ 0 ≤ (norm ‘(B −v C))
71	48	sqrge0 4760	. . . 4 ⊢ (0 ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / N) → 0 ≤ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N)))
72	64, 71	ax-mp 6	. . 3 ⊢ 0 ≤ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N))
73	48, 63	sqrlem24 4754	. . . 4 ⊢ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N)) ∈ ℝ
74	16, 73	lt2sqe 4700	. . 3 ⊢ ((0 ≤ (norm ‘(B −v C)) ∧ 0 ≤ (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N))) → ((norm ‘(B −v C)) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N)) ↔ ((norm ‘(B −v C))↑2) < ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N))↑2)))
75	70, 72, 74	mp2an 520	. 2 ⊢ ((norm ‘(B −v C)) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N)) ↔ ((norm ‘(B −v C))↑2) < ((√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N))↑2))
76	68, 75	sylibr 175	1 ⊢ ((N ≤ D ∧ N ≤ G) → (norm ‘(B −v C)) < (√ ‘((4 · ((2 · R) + 1)) / N)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   − cmin 4089   / cdiv 4091   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  2c2 4454  4c4 4456  ↑cexp 4675  √csqr 4727   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_s csm 4960   −_v cmv 4962  normcno 4964

This theorem is referenced by:  projlem7 5199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074

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